一、二阶线性微分方程举例
二、线性微分方程的解的结构
§ 12.7 高阶线性微分方程
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一、二阶线性微分方程举例
?二阶线性微分方程
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二阶线性微分方程的一般形式为
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?
若方程右端 f(x)?0时 ?方程称为齐次的 ?否则称为非齐次的 ?
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02 222 ??? xkdtdxndt xd ??
其 中 mn ??2 ?? mck ?2 ??
如果物体还受到铅直扰力 F?Hsinpt的作用 ?
其中 mHh ? ?
pthxkdtdxndt xd s i n2 222 ??? ?
则
例 1详解 下页
例 1 设有一个弹性系数为 c的弹簧 ? 上端固定 ? 下端挂一个
质量为 m的物体 ? 给物体一个初始速度 v0后 ? 物体在平衡位置
附近作上下振动 ? 物体受到的阻力的大小与运动速度成正比 ?
比例系数为 ?? 取 x轴铅直向下 ? 并取物体的平衡位置为坐标原
点 ?物体的位置 x是 t的函数 x(t)? 则 x(t)所满足的微分方程为
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设时刻 t电容器两极板间的电压为 uc?则 uc满足微分方程
tLCEudtdudt ud mccc ??? s i n2 202
2
??? ??
其 中 LR2?? ??
LC
1
0 ?? ?
如果电容器经充电后撤去外电
源 (E?0)?则上述方程成为
02 2022 ??? ccc udtdudt ud ?? ?
例 2详解 首页
例 2 设有一个由电阻 R,自感 L,电容 C和电源 E串联组成
的电路 ? 其中 R,L,及 C为常数 ? 电源电动势是时间 t的函数,
E?Emsin?t?这里 Em及 ?也是常数 ?
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二、线性微分方程的解的结构
简要证明 这是因为
?定理 1(齐次方程的解的叠加原理 )
下页
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的两个解 ?
那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解 ?其中 C1,C2是任意常数 ?
(C1y1?C2y2)???P(x)(C1y1?C2y2)??Q(x)(C1y1?C2y2)
?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]
?0?0?0?
?(C1y1???C2y2??)?P(x)(C1y1??C2y2?)?Q(x)(C1y1?C2y2)
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举例,
(1)函数 1?cos2x? sin2x在整个数轴上是线性相关的 ?
这是因为 1?cos2x?sin2x?0?
举例
2 函数 x?x 在任何区间 (a?b)内是线性无关的 ?
这是因为对任意 k1?k2?k3? k1?k2x?k2x2不可能恒为零 ?
二、线性微分方程的解的结构
?函数的线性相关与线性无关
下页
?定理 1(齐次方程的解的叠加原理 )
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的两个解 ?
那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解 ?其中 C1,C2是任意常数 ?
设 y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)为定义在区间 I上的 n个函数 ? 如果
存在 n个不全为零的常数 k1?k2????? kn?使得当 x?I时有恒等式
k1y1(x)?k2y2(x)? ???? knyn(x)?0?
那么称这 n个函数在区间 I上线性相关 ?否则称为线性无关 ?
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对于两个函数 ? 如果它们的比恒为常数 ? 那么它们就线性
相关 ?否则就线性无关 ?
?判别两个函数线性相关性的方法
二、线性微分方程的解的结构
下页
?函数的线性相关与线性无关
?定理 1(齐次方程的解的叠加原理 )
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的两个解 ?
那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解 ?其中 C1,C2是任意常数 ?
设 y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)为定义在区间 I上的 n个函数 ? 如果
存在 n个不全为零的常数 k1?k2????? kn?使得当 x?I时有恒等式
k1y1(x)?k2y2(x)? ???? knyn(x)?0?
那么称这 n个函数在区间 I上线性相关 ?否则称为线性无关 ?
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举例,
已知 cos x与 sin x都是方程 y???y?0的解 ?
因为比值
cos x/sin x?cot x不恒为零 ?
所以 cos x与 sin x在 (?????)内是线性无关的 ?
因此 cos x与 sin x是方程 y???y?0的线性无关解 ?
方程的通解为 y?C1cos x?C2sin x?
举例
已知 y1?x与 y2?ex都是方程 (x?1)y???xy??y?0的解 ?
因为比值 ex/x不恒为常数 ?
所以 y1?x与 y2?ex在 (?????)内是线性无关的 ?
因此 y1?x与 y2?ex是方程 (x?1)y???xy??y?0的线性无关解 ?
方程的通解为 y?C1x?C2ex?
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的两个线
性无关的解 ?那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)
是方程的通解 ?其中 C1,C2是任意常数 ?
?定理 2(齐次方程的通解的结构 )
下页
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如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的两个线
性无关的解 ?那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)
是方程的通解 ?其中 C1,C2是任意常数 ?
?定理 2(齐次方程的通解的结构 )
如果 y1(x)?y2(x)?????yn(x)是方程
y(n)?a1(x)y(n?1)?????an?1(x)y??an(x)y?0
的 n个线性无关的解 ?那么 ?此方程的通解为
y?C1y1(x)?C2y2(x)????? Cnyn(x)?
其中 C1?C2?????Cn为任意常数 ?
?推论
下页
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注,
我们把方程 y???P(x)y??Q(x)y?0叫做与非齐次方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)
对应的齐次方程 ?
证明提示,
[Y(x)? *(x)]???P(x)[Y(x)?y*(x)]??Q(x)[Y(x)?y*(x)]
? [Y???P(x)Y? Q(x)Y]?[y*???P(x)y*??Q(x)y*]
?0?f(x)?f(x)?
举例,
已知 Y?C1cos x?C2sin 是齐次方程 y???y?0的通解 ?
y*?x2?2是非齐次方程 y???y?x2的一个特解 ?因此
y?C1cos x?C2sin x?x2?2
是非齐次方程 y???y?x2的通解 ?
?定理 3(非齐次方程的通解的结构 )
下页
设 y*(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解 ? Y(x)是方
程 y???P(x)y??Q(x)y?0的通解 ?那么
y?Y(x)?y*(x)
是方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的通解 ?
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?定理 4(非齐次方程的解的叠加原理 )
简要证明,这是因为
[y1?y2*]???P(x)[y1*?y2*]??Q(x)[y1*?y2*]
?[y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]
?f1(x)?f2(x)?
结束
设 y1*(x)与 y2*(x)分别是方程
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)与 y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)
的特解 ?那么 y1*(x)?y2*(x)是方程
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x)
的特解 ?
二、线性微分方程的解的结构
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一、二阶线性微分方程举例
?二阶线性微分方程
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二阶线性微分方程的一般形式为
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?
若方程右端 f(x)?0时 ?方程称为齐次的 ?否则称为非齐次的 ?
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02 222 ??? xkdtdxndt xd ??
其 中 mn ??2 ?? mck ?2 ??
如果物体还受到铅直扰力 F?Hsinpt的作用 ?
其中 mHh ? ?
pthxkdtdxndt xd s i n2 222 ??? ?
则
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例 1 设有一个弹性系数为 c的弹簧 ? 上端固定 ? 下端挂一个
质量为 m的物体 ? 给物体一个初始速度 v0后 ? 物体在平衡位置
附近作上下振动 ? 物体受到的阻力的大小与运动速度成正比 ?
比例系数为 ?? 取 x轴铅直向下 ? 并取物体的平衡位置为坐标原
点 ?物体的位置 x是 t的函数 x(t)? 则 x(t)所满足的微分方程为
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设时刻 t电容器两极板间的电压为 uc?则 uc满足微分方程
tLCEudtdudt ud mccc ??? s i n2 202
2
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其 中 LR2?? ??
LC
1
0 ?? ?
如果电容器经充电后撤去外电
源 (E?0)?则上述方程成为
02 2022 ??? ccc udtdudt ud ?? ?
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例 2 设有一个由电阻 R,自感 L,电容 C和电源 E串联组成
的电路 ? 其中 R,L,及 C为常数 ? 电源电动势是时间 t的函数,
E?Emsin?t?这里 Em及 ?也是常数 ?
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二、线性微分方程的解的结构
简要证明 这是因为
?定理 1(齐次方程的解的叠加原理 )
下页
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的两个解 ?
那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解 ?其中 C1,C2是任意常数 ?
(C1y1?C2y2)???P(x)(C1y1?C2y2)??Q(x)(C1y1?C2y2)
?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]
?0?0?0?
?(C1y1???C2y2??)?P(x)(C1y1??C2y2?)?Q(x)(C1y1?C2y2)
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举例,
(1)函数 1?cos2x? sin2x在整个数轴上是线性相关的 ?
这是因为 1?cos2x?sin2x?0?
举例
2 函数 x?x 在任何区间 (a?b)内是线性无关的 ?
这是因为对任意 k1?k2?k3? k1?k2x?k2x2不可能恒为零 ?
二、线性微分方程的解的结构
?函数的线性相关与线性无关
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?定理 1(齐次方程的解的叠加原理 )
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的两个解 ?
那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解 ?其中 C1,C2是任意常数 ?
设 y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)为定义在区间 I上的 n个函数 ? 如果
存在 n个不全为零的常数 k1?k2????? kn?使得当 x?I时有恒等式
k1y1(x)?k2y2(x)? ???? knyn(x)?0?
那么称这 n个函数在区间 I上线性相关 ?否则称为线性无关 ?
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对于两个函数 ? 如果它们的比恒为常数 ? 那么它们就线性
相关 ?否则就线性无关 ?
?判别两个函数线性相关性的方法
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?函数的线性相关与线性无关
?定理 1(齐次方程的解的叠加原理 )
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的两个解 ?
那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解 ?其中 C1,C2是任意常数 ?
设 y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)为定义在区间 I上的 n个函数 ? 如果
存在 n个不全为零的常数 k1?k2????? kn?使得当 x?I时有恒等式
k1y1(x)?k2y2(x)? ???? knyn(x)?0?
那么称这 n个函数在区间 I上线性相关 ?否则称为线性无关 ?
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举例,
已知 cos x与 sin x都是方程 y???y?0的解 ?
因为比值
cos x/sin x?cot x不恒为零 ?
所以 cos x与 sin x在 (?????)内是线性无关的 ?
因此 cos x与 sin x是方程 y???y?0的线性无关解 ?
方程的通解为 y?C1cos x?C2sin x?
举例
已知 y1?x与 y2?ex都是方程 (x?1)y???xy??y?0的解 ?
因为比值 ex/x不恒为常数 ?
所以 y1?x与 y2?ex在 (?????)内是线性无关的 ?
因此 y1?x与 y2?ex是方程 (x?1)y???xy??y?0的线性无关解 ?
方程的通解为 y?C1x?C2ex?
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的两个线
性无关的解 ?那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)
是方程的通解 ?其中 C1,C2是任意常数 ?
?定理 2(齐次方程的通解的结构 )
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如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0的两个线
性无关的解 ?那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)
是方程的通解 ?其中 C1,C2是任意常数 ?
?定理 2(齐次方程的通解的结构 )
如果 y1(x)?y2(x)?????yn(x)是方程
y(n)?a1(x)y(n?1)?????an?1(x)y??an(x)y?0
的 n个线性无关的解 ?那么 ?此方程的通解为
y?C1y1(x)?C2y2(x)????? Cnyn(x)?
其中 C1?C2?????Cn为任意常数 ?
?推论
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我们把方程 y???P(x)y??Q(x)y?0叫做与非齐次方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)
对应的齐次方程 ?
证明提示,
[Y(x)? *(x)]???P(x)[Y(x)?y*(x)]??Q(x)[Y(x)?y*(x)]
? [Y???P(x)Y? Q(x)Y]?[y*???P(x)y*??Q(x)y*]
?0?f(x)?f(x)?
举例,
已知 Y?C1cos x?C2sin 是齐次方程 y???y?0的通解 ?
y*?x2?2是非齐次方程 y???y?x2的一个特解 ?因此
y?C1cos x?C2sin x?x2?2
是非齐次方程 y???y?x2的通解 ?
?定理 3(非齐次方程的通解的结构 )
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设 y*(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个特解 ? Y(x)是方
程 y???P(x)y??Q(x)y?0的通解 ?那么
y?Y(x)?y*(x)
是方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的通解 ?
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?定理 4(非齐次方程的解的叠加原理 )
简要证明,这是因为
[y1?y2*]???P(x)[y1*?y2*]??Q(x)[y1*?y2*]
?[y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]
?f1(x)?f2(x)?
结束
设 y1*(x)与 y2*(x)分别是方程
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)与 y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)
的特解 ?那么 y1*(x)?y2*(x)是方程
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x)
的特解 ?
