§ 12.8 二阶常系数齐次线性微分方程
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方程 y???py??qy?0称为二阶常系数齐
次线性微分方程 ? 其中 p,q均为常数 ?
如果 y1,y2是二阶常系数齐次线性微分
方程的两个线性无关解 ? 那么 y?C1y1?C2y2
就是它的通解 ?
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?二阶常系数齐次线性微分方程
考虑到当 y??,y?,y为同类函数时 ? 有可能使 y???py??qy恒
等于零 ?而函数 erx具有这种性质 ?所以猜想 erx是方程的解 ?
将 y?erx代入方程 y???py??qy?0得
(r2?pr?q)erx?0?
由此可见 ? 只要 r满足代数方程 r2?pr?q?0? 函数 y?erx就是微分
方程的解 ?
分析 ?
下页
方程 y???py??qy?0称为二阶常系数齐次线性微分方程 ? 其
中 p,q均为常数 ?
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2
42
2,1
qppr ????? ?
方程 r2?pr?q?0叫做微分方程 y???py??qy?0的特征方程 ?
?特征方程及其根
特征方程的求根公式为
下页
?二阶常系数齐次线性微分方程
方程 y???py??qy?0称为二阶常系数齐次线性微分方程 ? 其
中 p,q均为常数 ?
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xrxr eCeCy 21 21 ??
?特征方程的根与通解的关系
有两个不相等的实根 ?r1,r2
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
简要证明 ?
下页
这是因为
函数 xre 1 和 xre 2 都是方程的解 ?
xrrxr xr eee )( 21
2
1 ?? 不是常数 ? 即 xre
1 与 xre 2 线性无关 ? xrrxr
xr e
e
e )( 21
2
1 ?? 不是常数 ? 即 xre
1 与 xre 2 线性无关 ?
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xrxr xeCeCy 11 21 ??
有两个不相等的实根 ?r1,r2
有两个相等的实根 ?r1?r2
下页
?特征方程的根与通解的关系
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21 ??
简要证明 ? 这是因为
xrxrxrxrxrxr q x eexrpexrrxeqxepxe 111111 )1()2()()()( 1211 ??????????
0)()2( 1211 11 ?????? qprrxepre xrxr ?
即 xrxe 1 是方程的解 ?
xexe xr xr ?
1
1 不是常数 ? 即 xre 1 与 xre 2 线性无关 ?
xrxrxrxrxrxr q x eexrpexrrxeqxepxe 111111 )1()2()()()( 1211 ??????????
xexe xr xr ?
1
1 不是常数 ? 即 xre 1 与 xre 2 线性无关 ?
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有两个不相等的实根 ?r1,r2
有一对共轭复根 ?r1,2???i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
下页
?特征方程的根与通解的关系
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21 ??
有两个相等的实根 ?r1?r2
简要证明 ?
故 e?xcos?x和 e?xsin?x也是方程的解 ?
因为函数 y1?e(??i?)x和 y2?e(??i?)x都是方程的解 ?
而 )(21c o s 21 yyxe x ???? ? )(21s i n 21 yyixe x ???? ?
函数 e?xcos?x与 e?xsin?x的比值为 cot?x?不是常数 ?
故 e?xcos?x和 e?xsin?x是方程的线性无关解 ?
xrxr xeCeCy 11 21 ??
>>>
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?第一步 写出微分方程的特征方程
r2?pr?q?0?
?第二步 求出特征方程的两个根 r1,r2?
?第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 ? 写出微分方程的
通解 ?
求 y???py??qy?0的通解的步骤 ?
下页
有两个不相等的实根 ?r1,r2
有一对共轭复根 ?r1,2???i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
?特征方程的根与通解的关系
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21 ??
有两个相等的实根 ?r1?r2 xrxr xeCeCy
11 21 ??
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有两个不相等的实根 ?r1,r2
有一对共轭复根 ?r1,2???i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
?特征方程的根与通解的关系
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21 ??
有两个相等的实根 ?r1?r2 xrxr xeCeCy
11 21 ??
因此微分方程的通解为 y?C1e?x?C2e3x?
例 1 求微分方程 y???2y??3y?0的通解 ?
解 微分方程的特征方程为
r2?2r?3?0?
特征方程有两个不相等的实根 r1??1?r2?3?
即 (r?1)(r?3)?0?
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有两个不相等的实根 ?r1,r2
有一对共轭复根 ?r1,2???i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
?特征方程的根与通解的关系
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21 ??
有两个相等的实根 ?r1?r2 xrxr xeCeCy
11 21 ??
特征方程有两个相等的实根 r1?r2??1?
例 2 求方程 y???2y??y?0的通解 ?
解 微分方程的特征方程为
r2?2r?1?0? 即 (r?1)2?0?
因此微分方程的通解为 y?C1e?x ?C2xe?x?即 y?(C1?C2x)e?x?
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r2?2r?5?0?
特征方程的根为 r1?1?2i?r2?1?2i?是一对共轭复根 ?
因此微分方程的通解为 y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?
例 3 求微分方程 y???2y??5y?0的通解 ?
有两个不相等的实根 ?r1,r2
有一对共轭复根 ?r1,2???i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
?特征方程的根与通解的关系
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21 ??
有两个相等的实根 ?r1?r2 xrxr xeCeCy
11 21 ??
解 微分方程的特征方程为
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?n阶常系数齐次线性微分方程
下页
方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)?????pn?1y??pny?0称为 n阶常系
数齐次线性微分方程 ?其中 p1? p2 ????? pn?1? pn都是常数 ?
引入微分算子 D及微分算子的 n次多项式
L(D)?Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2????? pn?1D?pn?
注 ?
D0y?y? Dy?y??D2y?y???D3y?y???????? Dny?y(n)?
则 n阶常系数齐次线性微分方程可记作
(Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2????? pn?1D?pn)y?0或 L(D)y?0?
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?n阶常系数齐次线性微分方程
方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)?????pn?1y??pny?0称为 n阶常系
数齐次线性微分方程 ?其中 p1? p2 ????? pn?1? pn都是常数 ?
引入微分算子 D?则上述微分方程可记作
(Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2????? pn?1D?pn)y?0或 L(D)y?0?
因此如果 r是多项式 L(r)的根 ?则 y?erx是微分方程 L(D)y?0的解 ?
分析 ?
令 y?erx?则
L(D)y?L(D)erx
?(rn?p1rn?1?p2 rn?2 ????? pn?1r?pn)erx
?L(r)erx?
L(r)?0称为微分方程 L(D)y?0的特征方程 ?
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?n阶常系数齐次线性微分方程
方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)?????pn?1y??pny?0称为 n阶常系
数齐次线性微分方程 ?其中 p1? p2 ????? pn?1? pn都是常数 ?
?特征方程的根与通解中项的对应
引入微分算子 D?则上述微分方程可记作
(Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2????? pn?1D?pn)y?0或 L(D)y?0?
e?x[(C1?C2x?????Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x?????Dkxk?1)sin?x]?
?单实根 r对应于一项 ?
?一对单复根 r1? 2???i?对应于两项 ?
?k重实根 r对应于 k项 ?
?一 对 k重复根 r1?2???i? 对应于 2k项 ?
erx(C1?C2x?????Ckxk?1)?
e?x(C1cos?x?C2sin?x)?
Cerx?
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例 4 求方程 y(4)?2y????5y???0 的通解 ?
解 微分方程的特征方程为
r4?2r3?5r2?0? 即 r2(r2?2r?5)?0?
它的根是 r1?r2?0和 r3?4?1?2i? 因此微分方程的通解为
y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?
例 5 求方程 y(4)?? 4y?0的通解 ?其中 ??0?
解 微分方程的特征方程为 r4??4?0? 其根为
)1(22,1 ir ?? ? ? )1(24,3 ir ??? ? ? )1(22,1 ir ?? ? ? )1(24,3 ir ??? ? ?
因此微分方程的通解为
)2s i n2c o s()2s i n2c o s( 432 212 xCxCexCxCey xx ????
??
???? ? ?
>>>
>>>
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方程 y???py??qy?0称为二阶常系数齐
次线性微分方程 ? 其中 p,q均为常数 ?
如果 y1,y2是二阶常系数齐次线性微分
方程的两个线性无关解 ? 那么 y?C1y1?C2y2
就是它的通解 ?
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?二阶常系数齐次线性微分方程
考虑到当 y??,y?,y为同类函数时 ? 有可能使 y???py??qy恒
等于零 ?而函数 erx具有这种性质 ?所以猜想 erx是方程的解 ?
将 y?erx代入方程 y???py??qy?0得
(r2?pr?q)erx?0?
由此可见 ? 只要 r满足代数方程 r2?pr?q?0? 函数 y?erx就是微分
方程的解 ?
分析 ?
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方程 y???py??qy?0称为二阶常系数齐次线性微分方程 ? 其
中 p,q均为常数 ?
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2
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2,1
qppr ????? ?
方程 r2?pr?q?0叫做微分方程 y???py??qy?0的特征方程 ?
?特征方程及其根
特征方程的求根公式为
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?二阶常系数齐次线性微分方程
方程 y???py??qy?0称为二阶常系数齐次线性微分方程 ? 其
中 p,q均为常数 ?
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xrxr eCeCy 21 21 ??
?特征方程的根与通解的关系
有两个不相等的实根 ?r1,r2
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
简要证明 ?
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这是因为
函数 xre 1 和 xre 2 都是方程的解 ?
xrrxr xr eee )( 21
2
1 ?? 不是常数 ? 即 xre
1 与 xre 2 线性无关 ? xrrxr
xr e
e
e )( 21
2
1 ?? 不是常数 ? 即 xre
1 与 xre 2 线性无关 ?
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xrxr xeCeCy 11 21 ??
有两个不相等的实根 ?r1,r2
有两个相等的实根 ?r1?r2
下页
?特征方程的根与通解的关系
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
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简要证明 ? 这是因为
xrxrxrxrxrxr q x eexrpexrrxeqxepxe 111111 )1()2()()()( 1211 ??????????
0)()2( 1211 11 ?????? qprrxepre xrxr ?
即 xrxe 1 是方程的解 ?
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1
1 不是常数 ? 即 xre 1 与 xre 2 线性无关 ?
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xexe xr xr ?
1
1 不是常数 ? 即 xre 1 与 xre 2 线性无关 ?
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有两个不相等的实根 ?r1,r2
有一对共轭复根 ?r1,2???i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
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?特征方程的根与通解的关系
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21 ??
有两个相等的实根 ?r1?r2
简要证明 ?
故 e?xcos?x和 e?xsin?x也是方程的解 ?
因为函数 y1?e(??i?)x和 y2?e(??i?)x都是方程的解 ?
而 )(21c o s 21 yyxe x ???? ? )(21s i n 21 yyixe x ???? ?
函数 e?xcos?x与 e?xsin?x的比值为 cot?x?不是常数 ?
故 e?xcos?x和 e?xsin?x是方程的线性无关解 ?
xrxr xeCeCy 11 21 ??
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?第一步 写出微分方程的特征方程
r2?pr?q?0?
?第二步 求出特征方程的两个根 r1,r2?
?第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 ? 写出微分方程的
通解 ?
求 y???py??qy?0的通解的步骤 ?
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有两个不相等的实根 ?r1,r2
有一对共轭复根 ?r1,2???i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
?特征方程的根与通解的关系
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21 ??
有两个相等的实根 ?r1?r2 xrxr xeCeCy
11 21 ??
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有两个不相等的实根 ?r1,r2
有一对共轭复根 ?r1,2???i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
?特征方程的根与通解的关系
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21 ??
有两个相等的实根 ?r1?r2 xrxr xeCeCy
11 21 ??
因此微分方程的通解为 y?C1e?x?C2e3x?
例 1 求微分方程 y???2y??3y?0的通解 ?
解 微分方程的特征方程为
r2?2r?3?0?
特征方程有两个不相等的实根 r1??1?r2?3?
即 (r?1)(r?3)?0?
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有两个不相等的实根 ?r1,r2
有一对共轭复根 ?r1,2???i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
?特征方程的根与通解的关系
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21 ??
有两个相等的实根 ?r1?r2 xrxr xeCeCy
11 21 ??
特征方程有两个相等的实根 r1?r2??1?
例 2 求方程 y???2y??y?0的通解 ?
解 微分方程的特征方程为
r2?2r?1?0? 即 (r?1)2?0?
因此微分方程的通解为 y?C1e?x ?C2xe?x?即 y?(C1?C2x)e?x?
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r2?2r?5?0?
特征方程的根为 r1?1?2i?r2?1?2i?是一对共轭复根 ?
因此微分方程的通解为 y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?
例 3 求微分方程 y???2y??5y?0的通解 ?
有两个不相等的实根 ?r1,r2
有一对共轭复根 ?r1,2???i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
?特征方程的根与通解的关系
方程 y???py??qy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21 ??
有两个相等的实根 ?r1?r2 xrxr xeCeCy
11 21 ??
解 微分方程的特征方程为
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?n阶常系数齐次线性微分方程
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方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)?????pn?1y??pny?0称为 n阶常系
数齐次线性微分方程 ?其中 p1? p2 ????? pn?1? pn都是常数 ?
引入微分算子 D及微分算子的 n次多项式
L(D)?Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2????? pn?1D?pn?
注 ?
D0y?y? Dy?y??D2y?y???D3y?y???????? Dny?y(n)?
则 n阶常系数齐次线性微分方程可记作
(Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2????? pn?1D?pn)y?0或 L(D)y?0?
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?n阶常系数齐次线性微分方程
方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)?????pn?1y??pny?0称为 n阶常系
数齐次线性微分方程 ?其中 p1? p2 ????? pn?1? pn都是常数 ?
引入微分算子 D?则上述微分方程可记作
(Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2????? pn?1D?pn)y?0或 L(D)y?0?
因此如果 r是多项式 L(r)的根 ?则 y?erx是微分方程 L(D)y?0的解 ?
分析 ?
令 y?erx?则
L(D)y?L(D)erx
?(rn?p1rn?1?p2 rn?2 ????? pn?1r?pn)erx
?L(r)erx?
L(r)?0称为微分方程 L(D)y?0的特征方程 ?
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?n阶常系数齐次线性微分方程
方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)?????pn?1y??pny?0称为 n阶常系
数齐次线性微分方程 ?其中 p1? p2 ????? pn?1? pn都是常数 ?
?特征方程的根与通解中项的对应
引入微分算子 D?则上述微分方程可记作
(Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2????? pn?1D?pn)y?0或 L(D)y?0?
e?x[(C1?C2x?????Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x?????Dkxk?1)sin?x]?
?单实根 r对应于一项 ?
?一对单复根 r1? 2???i?对应于两项 ?
?k重实根 r对应于 k项 ?
?一 对 k重复根 r1?2???i? 对应于 2k项 ?
erx(C1?C2x?????Ckxk?1)?
e?x(C1cos?x?C2sin?x)?
Cerx?
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例 4 求方程 y(4)?2y????5y???0 的通解 ?
解 微分方程的特征方程为
r4?2r3?5r2?0? 即 r2(r2?2r?5)?0?
它的根是 r1?r2?0和 r3?4?1?2i? 因此微分方程的通解为
y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?
例 5 求方程 y(4)?? 4y?0的通解 ?其中 ??0?
解 微分方程的特征方程为 r4??4?0? 其根为
)1(22,1 ir ?? ? ? )1(24,3 ir ??? ? ? )1(22,1 ir ?? ? ? )1(24,3 ir ??? ? ?
因此微分方程的通解为
)2s i n2c o s()2s i n2c o s( 432 212 xCxCexCxCey xx ????
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