第一章 函数与极限第一节 函数第二节 初等函数第三节 数列极限第四节 函数极限第五节 无穷小与无穷大第六节 极限的四则运算第七节 极限存在准则两个重要极限第八节 无穷小的比较第九节 函数的连续性与间断点第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性第十一节 闭区间上连续函数的性质第一节 函数
一,集合
1.集合,指具有某种特定性质的事物的全体,组成该集合的事物称为集合的元素,
集合的表示方法,
(1)列举法,
(2)描述法,
空集,
},,,{ 21 maaaA
}|{ 所具有的性质xxA?
2.区间
设,则
(1)开区间,
(2)闭区间,
(3)半开区间,
ba?
}.|{),(},|{),(},|{),( axxaaxxabxaxba
}|{],[ bxaxba
},|{],(},|{),[ bxaxbabxaxba
}|{],(},|{),[ bxxbaxxa
3.邻域,以点 为中心的任何开区间称为点的邻域,记作点 的 邻域其中 称为 的半径,称为的中心点 的去心 邻域
)(aU
a?
}|{),(),( axaxaaaU
0 ),(?aU
:),(?aU
a
a
a
),(?aU
a? ),(0?aU
},|{),(),(),(0 axaxaxaaaaaU
二,函数
1.定义：设 与 是变量,是给定的一个数集 按照一定的法则总有确定的数值与之对应,则称 是 的函数,记作,其中 为函数的定义域,是自变量,是因变量,
处的函数值记为,即,
yDx,
Dx y
xy
)( xfy? D y
0x )( 0xf
)( 00 xfy?
X
称为函数 的值域,
单值函数与多值函数,如果自变量在定义域内任取一个值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数称为单值函数,否则称为多值函数,本书一般指单值函数,
}),(|{ DxxfyyW )( xfy?
2.定义域的求法
(1)实际问题由实际意义确定,如自由落体运动,则其定义域为,
(2)数学式子由算式有意义的自变量的一切实数值所确定,如,其定义域为,
2
0 2
1 gtxx 0?t
21 xy
]1,1[D
3.函数的图形
建立直角坐标系后,点 的集合,
称为函数 的图形,
),( yx C
}),(|),{( DxxfyyxC
)( xfy?
4.特殊函数
(1)绝对值函数,
(2)符号函数,
xxxxxxxy s g n.0,,0,?
.0,1
,0,0
,0,1
s g n
x
x
x
xy
(3)取整函数,
表示不超过 的最大整数,如图形如下,
(4)分段函数,在自变量的不同范围中,用不同式子表示的同一个函数称为分段函数,
如绝对值函数,取整函数,符号函数都是分段函数,两个不同式子的分界点称为分段函数的分段点,
][xy? x
2]5[,2]2[,1]1[
三,函数的基本特性
1.有界性,设 的定义域为,数集,
如果存在,对,有
,
则称 在数集 上有下界 (或上界 )或有界,
否则,称 在 上无界,
显然 在 上有界的充分必要条件是在 上既有上界也有下界,
)(xf D DX?
0?M Xx
XxMxfMMxf,或或 )()()(
)(xf
X
)(xf
X
)(xf
X
)(xf
X
2.单调性,设 的定义域为,区间,
如果则称 在区间 上单调增加 (或单调减少 ).此时函数 称为单调函数,
)(xf D DI?
tsIxx,,21
))()()(()( 2121 xfxfxfxf 或
)(xf I
)(xf DI?
3.奇偶性,设 的定义域 关于原点对称 (即,如果,有
,则称为偶 (奇 )函数,
偶 (奇 )函数的图形关于 轴 (原点 )对称,
)(xf D O
)DxDx Dx
))()()(()( xfxfxfxf 或 )(xf
y
4.周期性,设 的定义域为,如果,
,
则称 为周期函数,函数的周期是指最小正周期,注意,不是任一周期函数都有最小正周期,如狄里赫来函数显然任一有理数都是其周期,从而为周期函数,但无最小正周期,
)(xf D
),)(()(..,0 Dlxxxflxftsl
)(xf
)(T
.,0
,,1)(
为有理数为无理数
x
xxfy
四,反函数
反函数,设函数 定义域为,值域为,
对,总 与 对应,这样就确定了一个以 为自变量的函数,称为 的反函数,记作,也记作,相对于反函数,原来函数 称为直接函数,
注意 (1)单值函数的反函数不一定是单值函数 ;但当直接函数 不仅单值且单调时,其反函数 必为单值函数,
(2) 和 的图形关于直线对称,
)( xfy? D W
Wy tsDx,, x y
y x )( xfy?
)( yx )(1 xfy
)(1 xfy )( xfy?
)( xfy?
)(1 xfy
)( xfy? )(1 xfy
xy?
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一,集合
1.集合,指具有某种特定性质的事物的全体,组成该集合的事物称为集合的元素,
集合的表示方法,
(1)列举法,
(2)描述法,
空集,
},,,{ 21 maaaA
}|{ 所具有的性质xxA?
2.区间
设,则
(1)开区间,
(2)闭区间,
(3)半开区间,
ba?
}.|{),(},|{),(},|{),( axxaaxxabxaxba
}|{],[ bxaxba
},|{],(},|{),[ bxaxbabxaxba
}|{],(},|{),[ bxxbaxxa
3.邻域,以点 为中心的任何开区间称为点的邻域,记作点 的 邻域其中 称为 的半径,称为的中心点 的去心 邻域
)(aU
a?
}|{),(),( axaxaaaU
0 ),(?aU
:),(?aU
a
a
a
),(?aU
a? ),(0?aU
},|{),(),(),(0 axaxaxaaaaaU
二,函数
1.定义：设 与 是变量,是给定的一个数集 按照一定的法则总有确定的数值与之对应,则称 是 的函数,记作,其中 为函数的定义域,是自变量,是因变量,
处的函数值记为,即,
yDx,
Dx y
xy
)( xfy? D y
0x )( 0xf
)( 00 xfy?
X
称为函数 的值域,
单值函数与多值函数,如果自变量在定义域内任取一个值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数称为单值函数,否则称为多值函数,本书一般指单值函数,
}),(|{ DxxfyyW )( xfy?
2.定义域的求法
(1)实际问题由实际意义确定,如自由落体运动,则其定义域为,
(2)数学式子由算式有意义的自变量的一切实数值所确定,如,其定义域为,
2
0 2
1 gtxx 0?t
21 xy
]1,1[D
3.函数的图形
建立直角坐标系后,点 的集合,
称为函数 的图形,
),( yx C
}),(|),{( DxxfyyxC
)( xfy?
4.特殊函数
(1)绝对值函数,
(2)符号函数,
xxxxxxxy s g n.0,,0,?
.0,1
,0,0
,0,1
s g n
x
x
x
xy
(3)取整函数,
表示不超过 的最大整数,如图形如下,
(4)分段函数,在自变量的不同范围中,用不同式子表示的同一个函数称为分段函数,
如绝对值函数,取整函数,符号函数都是分段函数,两个不同式子的分界点称为分段函数的分段点,
][xy? x
2]5[,2]2[,1]1[
三,函数的基本特性
1.有界性,设 的定义域为,数集,
如果存在,对,有
,
则称 在数集 上有下界 (或上界 )或有界,
否则,称 在 上无界,
显然 在 上有界的充分必要条件是在 上既有上界也有下界,
)(xf D DX?
0?M Xx
XxMxfMMxf,或或 )()()(
)(xf
X
)(xf
X
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X
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X
2.单调性,设 的定义域为,区间,
如果则称 在区间 上单调增加 (或单调减少 ).此时函数 称为单调函数,
)(xf D DI?
tsIxx,,21
))()()(()( 2121 xfxfxfxf 或
)(xf I
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3.奇偶性,设 的定义域 关于原点对称 (即,如果,有
,则称为偶 (奇 )函数,
偶 (奇 )函数的图形关于 轴 (原点 )对称,
)(xf D O
)DxDx Dx
))()()(()( xfxfxfxf 或 )(xf
y
4.周期性,设 的定义域为,如果,
,
则称 为周期函数,函数的周期是指最小正周期,注意,不是任一周期函数都有最小正周期,如狄里赫来函数显然任一有理数都是其周期,从而为周期函数,但无最小正周期,
)(xf D
),)(()(..,0 Dlxxxflxftsl
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为有理数为无理数
x
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四,反函数
反函数,设函数 定义域为,值域为,
对,总 与 对应,这样就确定了一个以 为自变量的函数,称为 的反函数,记作,也记作,相对于反函数,原来函数 称为直接函数,
注意 (1)单值函数的反函数不一定是单值函数 ;但当直接函数 不仅单值且单调时,其反函数 必为单值函数,
(2) 和 的图形关于直线对称,
)( xfy? D W
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