第六节 最值问题一.闭区间上连续函数的最值的求法
假设在上连续,在内可导,且至多在有限个点处导数为零.下面讨论求在上的最值.
(1) 在上必有最大值与最小值;
(2)如果在内取到最大值(或最小值),则最大(小)值必是的极大(小)值,从而最值点必是的驻点.
由以上分析可得求的最值方法为:
求得的 点:;
最大值
最小值
例1 求在上的最大值与最小值.
解 ,令,所以驻点.
因为,所以
,
.
在求函数的最值时,特别值域的一种情形是在区间上只有一个驻点的情况.如果该驻点为极大值点,则为的最大值;如果驻点为极小值点,则为的最小值.
(此时判断该驻点为极大(小)值点,一般用第二充分条件).
例2 求函数在何处取到最大值.
解 ,令,得,只有唯一驻点,而,因为
,
所以函数在处取得最大值.
二.实际问题的最值
在实际问题中,由实践问题的性质可判断有最大(小)值,且在定义区间内部取得.如果在定义区间内部只有一个驻点,则必是最大(小)值.
例3
三.最值(或极值)的应用——证明不等式
例4 设,且,证明.
证明 只须证.分析 由,得如果令,为的唯一驻点,又为极小值,得为最小值.
证明 连续,由,得,所以
,
故.
令,且.,且,所以为的驻点.

所以为的极小值点,且,从而只有一个驻点,故为的最小值.所以

即.