定积分3
9．。
解 虽然积分区间是对称区间，但被积函数既非奇函数也非偶函数。
原式
对于，所以
原式

10．。
解 原式

11．。
解 原式

12．设，。求。
解 
因为 ，所以



13．计算广义积分。
解 为无界点，所以


注意,积分不可以一个折成两个积分，而无穷限的广义积分，如果其中一个不存在，则整个积分不存在。
14．求极限 。
解 复习定积分的定义

因为 

而 

同理 


由夹逼定理得原极限为。
15．求极限 。
解 因为 ，所以
原式

注意：（无穷小与有界变量的乘积为无穷小）。
16．设连续，，。求。
解 

所以
原式

注意：。
17．设满足，，令
 ，求。
解 从定义出发 



所以 。
不等式的证明：
18．设在区间上连续可导，，且。证明：。
证明 只需证明 
令，注意到 ，所以只需证

显然在上连续可导，而

设 ，则

所以在上单调增加，当时，有

所以 ，故 。#
范：若将条件改为，则证明是正确的，你看如何？
19．设在上连续且单调增加，证明：

证明 设 ，注意到 ，只要证 
由条件知在上连续可导，且


其中。所以在上单调增加，故 。
20．设在上有连续的导数，且。证明：
。
证明 因为在上连续，所以 ||在上也连续，必有最大值。设，只要证


=


。#
21.设，，证明：。
证明 用泰勒公式

取，则  ，所以
 
因此
。#
二．选择与填空
1．曲线与轴及所围平面 面积为（ ）。
（A） （B） （C） （D）
2．若，则的驻点为（ ）。
（A）-1 （B）1 （C）-1，1，0 （D）-1，1
3．设连续可导，则在下列各等式中正确的是（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
4．设在上连续，且，设，则（ ）。
（A）0 （B）2 （C）-2 （D）1
5．已知，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
6．（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
7．设为连续函数，且，则有（ ）成立。
（A） （B）
（C） （D）
8．设，则（ ）。
（A）8 （B）16 （C）4 （D）2
9．设为连续函数，则（ ）。
（A）0 （B）1 （C） （D）
10．收敛，则为（ ）。
（A） （B） （C） （D）