第三节 Newton--Leibniz公式
一.积分上限的函数及其导数
设在上连续.,则函数

称为积分上限的函数.
积分上限函数的性质:
定理 如果在上连续,则积分上限的函数

在上具有导数,且它的导数是
.
证明 ,则
在与之间.
故
.
所以
.
当时,同理可证;当时,同理可证.
由定理可得原函数存在定理.
定理 如果在上连续,则积分上限函数

是在上的一个原函数.
例1 设在内连续,且,证明

在内为单调增加函数.
证明 分析:要证明是单调增加函数,只须证.
,
当时,,,但不恒为零,所以
,
故

即.所以在内为单调增加函数.
注意:由可得如下求导公式:
(1) ;
即被积函数中的积分变量用上限代替,再乘以.
(2).
例2 求.
解 .
例3 问为何值时,在处连续.
解 ,
.
要使在处连续,当且仅当,即

所以.
2,Newton——Leibniz公式(微积分基本公式)
定理 如果是连续函数在上的一个原函数,则
.
上式称为Newton——Leibniz公式,或称为微积分基本公式.
证明 和都是在上的原函数,则
,
即
.
令,则,故
,
所以
.
故

令,得

注意:1)运用Newton——Leibniz公式计算时,必须注意应满足的条件:
在上连续.
2)必须是在上的原函数.
例4 求.
解 .
例5 下面运算正确吗?
1).
2),无意义.
解 1)错误.因为在上不连续.
2)错误.因为在上的原函数是.
例6 求在上的定积分.
解 分析,为分段函数,计算要利用区间可加性.


.
例7 求.
解 
.