第九节 曲率
一,弧微分设 在 有连续导数,在 曲线上取定点,并规定曲线的正向是增大的方向,在曲线上任取一点,规定有向弧 段的值 (简称弧 )为
),( ba )(xfy?
),( 000 yxM
),( yxM
MM0
x
s
.;;;)(
00
00
与曲线的正向相反的长度与曲线的正向一致的长度
MMMM
MMMMxss
)(xf
显然弧函数 是单调增加函数,下面给出弧 的微分,称为弧微分,
因为 ( 是单调增加函数 ),
所以即上式称为弧微分公式,
)(xss?
s
222 )()()( dydxds
0?ds )(xss?
,)()( 22 dydxds
.)(1 2 dxdxdyds
二,曲率曲率是用来反映曲线弯曲程度的量,比值即单位弧度切线转过的角度称为弧段的平均曲率,记作,即而极限 称为曲线在点 处的曲率,记为即当 存在时,则
,s
K,
sK?
ss?
0lim
M,K
.lim
0 s
K
s?
ss?
0lim,ds
dK
下面给出曲率的计算公式,
设曲线方程为,且 具有二阶导数,
由一阶导数的几何意义知两边微分,得所以又由弧微分公式所以有
)(xfy? )(xf
,t a ny
,)1()ta n1(s e c 222 dxdydxddxdy
,1 2 dxyyd
,)(1 2 dxdxdyds
,
)1( 2
3
2y
y
ds
d
故曲率 的计算公式为如果曲线的参数方程为则曲率 的计算公式为
K,
)1( 2
3
2y
y
K
).(
),(
tyy
txx
K
.
)( 2
3
22 yx
yxyx
K
例 1 试问抛物线 上哪一点处的曲率最大?
解,,所以曲率当,即 时,曲率最大,此时对应着抛物线的顶点,即抛物线在顶点处的曲率最大,
cbxaxy 2
aybaxy 2,2
2
3
22
3
2 ])2(1[
2
)1( bax
a
y
y
K
02 bax abx 2
三,曲率圆与曲率半径设曲率半径为,则?
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一,弧微分设 在 有连续导数,在 曲线上取定点,并规定曲线的正向是增大的方向,在曲线上任取一点,规定有向弧 段的值 (简称弧 )为
),( ba )(xfy?
),( 000 yxM
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与曲线的正向相反的长度与曲线的正向一致的长度
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显然弧函数 是单调增加函数,下面给出弧 的微分,称为弧微分,
因为 ( 是单调增加函数 ),
所以即上式称为弧微分公式,
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二,曲率曲率是用来反映曲线弯曲程度的量,比值即单位弧度切线转过的角度称为弧段的平均曲率,记作,即而极限 称为曲线在点 处的曲率,记为即当 存在时,则
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下面给出曲率的计算公式,
设曲线方程为,且 具有二阶导数,
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故曲率 的计算公式为如果曲线的参数方程为则曲率 的计算公式为
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例 1 试问抛物线 上哪一点处的曲率最大?
解,,所以曲率当,即 时,曲率最大,此时对应着抛物线的顶点,即抛物线在顶点处的曲率最大,
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02 bax abx 2
三,曲率圆与曲率半径设曲率半径为,则?
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