第九节 曲率
一.弧微分
设在有连续导数.在曲线上取定点,并规定曲线的正向是增大的方向.在曲线上任取一点,规定有向弧段的值(简称弧)为

显然弧函数是单调增加函数.下面给出弧的微分,称为弧微分.

因为(是单调增加函数),所以

即

上式称为弧微分公式.
二.曲率
曲率是用来反映曲线弯曲程度的量.比值,即单位弧度切线转过的角度称为弧段的平均曲率,记作,即
=.
而极限

称为曲线在点处的曲率,记为,即

当存在时,则
.
下面给出曲率的计算公式.
设曲线方程为,且具有二阶导数.由一阶导数的几何意义知

两边微分,得
,
所以
.
又由弧微分公式

所以有
,
故曲率的计算公式为
.
如果曲线的参数方程为

则曲率的计算公式为
.
例1 试问抛物线上哪一点处的曲率最大?
解 .所以曲率
.
当,即时,曲率最大,此时对应着抛物线的顶点,即抛物线在顶点处的曲率最大.
三.曲率圆与曲率半径
设曲率半径为,则
.