第六节 函数的微分
一.微分的定义及性质
1.定义 设在内有定义,.如果函数的增量

可表示成

则称在处可微的,称为在处相应于自变量的增量的微分,记作,即
.
2.函数可微的条件
定理 在处可微在处可导,且即
.
证明 在处可微,则,所以

得在处可导,且
在处可导,则
,
所以 ,故,而

所以 ,即在处可微,且
例1 求函数当时的微分.
解 ,所以当时的微分为

3.函数的微分
函数在任意点处的微分,称为函数的微分,记作或,即
.
当时,,称为自变量的微分,故函数的微分又可记作
.
由此有

从而导数又称为”微商”.
例1 设,求.
解 ,所以
.
二.微分的几何意义
1.微分在近似计算中的理论基础
当在处可导时,则.
当时,有
,
即 ,所以

称为的线性主部,且

所以

得

由此有,当时,.
2.微分的几何意义

是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量.
当时,,表示在处可用切线段近似代替曲线段.
三.基本初等函数的微分与微分运算法则
.
1.基本初等函数的微分公式.
2.函数和,差,积,商的微分.
3.复合函数的微分法则——微分形式不变性
,则
.
又

所以
.
由此,不论为自变量还是中间变量,微分形式不变,称为微分形不变性.
例1 设,求.
解 
例2 设,求及.
解 ,两边微分,有

所以

例3 由确定是的函数,求及.
解 ,得,即
,
解得

且

四.微分在近似计算中的应用
当时,有.即

或

令,则
.
运用此近似公式计算函数的近似值时,要求
(1)很小;
(2)易于计算.
由以上两点,关键是点的选取.
特别地,如果取,则.
由此有工程上的几个近似公式(类似于时的等价无穷小):
(1)
(2)
(3)
例 求的近似值.
解 .取,则


例2 求的近似值.
解