第三节 分部积分法
由两个函数与乘积的微分

有

两边积分得

即

上式称为分部积分公式.
其基本思路是:难求,此时通过分部积分公式,将求转化为求,而此时易求.
常用分部积分方法求不定积分的类型为:
1.型不定积分;
例1 求.
解 取,所以
.
例2 求.
解 取,则

.
注(1):对积分,取分别为.
2.,
型不定积分.
例3 求.
解 取,则
.
求.
解 取,则


.
注(2):对于以上类型的不定积分,则取
.
3.型不定积分.
例5 求,().
解 

所以

故
.
注(3):对于以上两类不定积分,通过两次分部积分(一般取,)后还原到原不定积分,从而解出原不定积分.
4.杂例
例6 

所以

即
.
例7 

所以

故
.
例8 求.
解 令,有,故


.
例9 已知的一个原函数为,求.
解  (1)
因为是的一个原函数,所以

代入(1)式,有
.
注:此题也可先求出,再求

.
当一般用方法一简单明嘹.