定积分5
一．内容提要
1．定积分的概念
定义 设在上有界，若存在，且与 的分法及在第个区间上的取法无关，，则称极限值为在上的定积分，记作，即

定积分是一个数，只与积分区间及被积函数有关，与积分变量有用什么字母表示无关。
当在上连续，或在上有界且只有有限个第一类间断点是，在上可积。
定积分作为一种特殊的和式极限，是运用极限思想解决实际问题的一种模式，因而有明确的几何意义和物理意义。
2．定积分的性质
（1）
（2）
（3）
（为常数，对有限多个函数也适用）
（4）
（无论相对位置如何也适用）
（5）若在上恒有，则 。
注意：若在上均连续，，，则 。
（6） 
（7）设，分别为在上的最大值和最小值，则
 
（8）积分中值定理：若在上均连续，则
 
要求能利用性质比较两个定积分的大小，判断定积分的符号，估计定积分的值，利用定积分的中值定理求函数在闭区间上的平均值。利用性质简化定积分的计算并证明一些不等式。
3．积分上限函数及其导数
设在上均连续，，则称为变上限定积分或积分上限的函数，记为。则，也即是的一个原函数。该结论表明连续函数的原函数一定存在。
注意弄清中与的意义，表示积分上限变量在上变化，表示积分变量在上变化。
一般地 
更一般地 
要求熟练掌握变上限定积分函数及求导公式，利用洛比达法则或积分中值定理会求变上限定积分的极限，会讨论变上限定积分的单调区间，极值和最值。
4．定积分的计算
（1）微积分基本定理 牛顿—莱布尼兹公式
若是连续函数在上的任一原函数，则

注意：条件在上连续也可减弱为在上可积。
（2）换元法

注意：①在单调具有连续导数，且当时，对应；
②换元法一定要换限。换限的依据是变换式。与不定积分换元法的区别。
（3）分步积分法

（难积） （易积）
（4）几个常用的积分公式常可以简化定积分的计算。
①
②
③奇偶函数在关于原点对称的区间上的积分：
，
④是以为周期的连续函数，则

⑤
⑥
⑦  
5．广义积分无穷区间上的广义积分：设在上连续，取，若存在，则称收敛；若收敛，则

其中为在上的任一原函数，且。
类似有广义积分收敛，且

其中为在上的任一原函数，且。

当右边两个广义积分均收敛时，也称广义积分收敛，且

其中，。
若上述某极限不存在，则称对应的广义积分发散。
（2） 积分（无界函数的广义积分）
设在上连续，在点的右邻域内无界，定义

设在上连续，在点的左邻域内无界，定义

设在及上连续，在点的邻域内无界，定义

注意：是相互独立的。
若定义中极限存在，则广义积分收敛，否则广义积分发散。
基本要求：
1．理解定积分的概念及性质；
2．熟练掌握定积分的换元法及分部积分法；
3．理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导公式，熟悉牛顿—莱布尼兹公式；
4．了解广义积分的概念。