第二节 换元积分法
一.第一类换元法——凑微分法
由复合函数的微分,有

则

其在求积分时的基本思路是:
——易于计算.
例1 
.
例2 求.
解 注意:,有

例3 求.
解 注意:.有
..
例4 

例5 .
所以
.
同理可得
.
例6 
即
.
例7 
即
.
例8 
.
即
.
例9 
例10 
例11 

注意:
(1)对于,如果中至少有一个为奇数,不妨设为奇数,其积分方法是:


例12 


注意:
(2)对于或,一般是采用倍角公式进行化简.
例13


.
即
.
例14 
.
即
.
例15 
.
注(3):
.
例16

.
注(4):
 .
例17 
.
注(5):,可用积化和差公式:
,
,
.
二.第二类换元法
.
其中单调可导且.
例18 

.
即
.
例19 
令,则

.
即
.
例20 ,.
令.当时,,,则

.
当时,令,则

.
所以
.
注(6):对被积函数含以下无理根式,可作以下相应的变换:
,令;
,令;
,令.
例21 求.
令(倒变换),则
.
当时,有

.
当时也有相同的结果.
注(7):当被积函数是的分式时,如果分母的次数比分子的次数,则可用倒变换.
下面举几个含二次三项式的例子.
例22 .
例23 .
例24 .
注(8):对于含二次三项式的不定积分,一般是对二次三项式进行配方,化成完全平方,即以下标准形式:
 或 ,
再利用前面所介绍的方法进行积分.
通过本节的讲述,可将一些例子补充于基本积分表内:
(16);
(17);
(18);
(19);
(20);
(21);
(22);
(23);
(24);
(25);
(26) .