第五章 定积分第一节 定积分的概念
1.引例——曲边梯形的面积
设在上非负,连续,由直线及曲线所围成的图形称为曲边梯形.如图:
(1)分区间:将分成个小区间
其中;表示第个小区间的长度.
(2)近似作和式:,近似,作和式
.
(3)取极限:令,得曲边梯形的面积
.
即曲边梯形的面积为和的极限.
2.定积分的定义
定义 设在上有界.
(1)分区间:在中插入个分点
,
把分成个小区间
.
(2)作和式,,作乘积,再作和式
(3)取极限,令,取极限
如果极限存在,则称函数在上可积,并称极限为函数在上的定积分.记作,即
=.
其中:和式称为积分和; 称为被积函数;称为被积表达式;称为积分变量;分别称为积分上、下限; 称为积分区间.
注意:(1)当存在时,定积分仅与被积函数和积分区间(积分变量的变化区间)有关,而与积分区间的分法和点的取法无关;特别与积分变量无关.即
=.
(2) 在何种条件下在上可积呢?有
1.如果在上连续时,则存在;
2.如果在上有界,且只有有限个第一类间断点,则在上可积.
例 计算.
解 按定义计算.被积函数,积分区间为.
(1)分区间:将区间等份,分点为,且
(2)作和式:由于定积分与点的取法无关,取,作和式
.
(3)取极限:令,所以
.
由此例可知,用定积分的定义计算定积分是非常繁的.从第二节开始介绍定积分的计算方法.
3.定积分的几何意义
由引例知,曲边梯形的面积,,由此有
(1)当时,=(曲边梯形的面积),如图:
(2)当时,=,如图:
(3)当有正有负时,=.如图.
1.引例——曲边梯形的面积
设在上非负,连续,由直线及曲线所围成的图形称为曲边梯形.如图:
(1)分区间:将分成个小区间
其中;表示第个小区间的长度.
(2)近似作和式:,近似,作和式
.
(3)取极限:令,得曲边梯形的面积
.
即曲边梯形的面积为和的极限.
2.定积分的定义
定义 设在上有界.
(1)分区间:在中插入个分点
,
把分成个小区间
.
(2)作和式,,作乘积,再作和式
(3)取极限,令,取极限
如果极限存在,则称函数在上可积,并称极限为函数在上的定积分.记作,即
=.
其中:和式称为积分和; 称为被积函数;称为被积表达式;称为积分变量;分别称为积分上、下限; 称为积分区间.
注意:(1)当存在时,定积分仅与被积函数和积分区间(积分变量的变化区间)有关,而与积分区间的分法和点的取法无关;特别与积分变量无关.即
=.
(2) 在何种条件下在上可积呢?有
1.如果在上连续时,则存在;
2.如果在上有界,且只有有限个第一类间断点,则在上可积.
例 计算.
解 按定义计算.被积函数,积分区间为.
(1)分区间:将区间等份,分点为,且
(2)作和式:由于定积分与点的取法无关,取,作和式
.
(3)取极限:令,所以
.
由此例可知,用定积分的定义计算定积分是非常繁的.从第二节开始介绍定积分的计算方法.
3.定积分的几何意义
由引例知,曲边梯形的面积,,由此有
(1)当时,=(曲边梯形的面积),如图:
(2)当时,=,如图:
(3)当有正有负时,=.如图.
