第三节 向量的坐标
一.投影及其性质
1.有向线段的值

有向线段的值
显然有:
(1);
(2).(不论在轴上的位置如何).
2.向量的夹角
设非零向量,则称为与的夹角.
3.向量在轴上的投影
(1)点在轴上的投影
为在轴上的投影.
(2)向量在轴上的投影
.
其中轴为投影轴.
4.性质
性质1(投影定理)
.
其中为与轴的夹角.
性质2 向量和的投影等于各向量的投影之和.即
.
性质3 数乘的投影等于投影的数乘.即
.
二.向量的坐标
设,
则
.
向量称为分别在轴,轴,轴上的分向量.而

称为分别在轴,轴,轴上的投影.
令—坐标单位向量,则
,
,
.
故
,
或
.
称为向量(关于坐标单位向量)的分解式,而称为向量坐标,记为
=.
称为向量的坐标表达式.(注意与点的坐标的表示的区别).
显然:以为起点,为终点的向量
.
点的向径
.
三.向量坐标表达式的应用
1.向量的加法
设=,,则
.
2.向量的数乘
设=,,职责
=.
3..(对应的坐标成比例).
4.定比分点的坐标
,则点的坐标满足
,
即
,
故

解得

特别地,当时,为的中点,则点的坐标为
.
5.向量的模
设=,则
.
6.向量的方向余弦
设=与三条坐标轴的正向的夹角分别为—称为向量的方向角.其中,则称为向量的方向余弦.由投影定理知
.
当(即)时,有

且
.
显然
.
例 设.求的模、方向余弦、方向角.
解 =,则
的模为:;
的方向余弦为:;
的方向角为:.
例 设,求使得.
解 .
例 设,且与轴和轴的夹角均为.求向量的坐标表达式.
解 方法一:设=,则

;
.
因为,故,所以.则
.
所以
=.
方法二:由,得.所以
.
故
.