第二章．导数与微分一．学习目的理解导数的定义，熟记基本初等函数的导数公式，熟练掌握对复合函数、隐函数及参数方程所确定函数的求导方法。利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线及法线方程。掌握微分的概念及可微与可导的关系。
二．学习重点导数的定义，复合函数、隐函数及参数方程所确定函数的求导方法。
三．学习难点隐函数求导法则四．内容提要导数的概念设函数y = 在内有定义，且。如果存在，则称函数y = 在处可导。
注：1）导数的实质是函数在某一点处函数的相对变化率
2）左右导数左导数：
右导数：
3）导数与左右导数的关系函数在点处可导，当且仅当与存在且相等
4）导数的几何意义：
函数y = 在处的导数表示曲线y = 在点(,)处的切线斜率
5）可导与连续的关系：
可导必连续，但连续未必可导
6）函数在某一区间连续，则函数图形在该区间内将是一条连绵不断的曲线；在某点连续，则函数图形在对应点处不会“断开”。如果函数在某一区间可导，则函数图形在该区域将是一条“光滑”曲线。如果是在某一点可导，则函数图形在对应点处“光滑”，也就是说在该点处不会出现类似于y=|x| 在（0，0）点处的“尖点”。
求导法则基本初等函数的求导公式；
函数的和、差、积、商的求导法则；
复合函数求导法则设，，且及都可导，则复合函数 的导数为:
注：此法则可推广到由多个函数复合而成的情况反函数的求导法则设函数在区间上单调、可导，则其反函数 在对应区间也单调、可导，且
隐函数的求导法则：
将确定函数的方程两边对求导，再从求导后得到的等式中解出。
由参数方程所确定的函数的求导法则：
若,均可导，且单调，0，则
= =
微分微分的定义设函数在U（）有定义，且+ U（）。如果函数增量
=
可表示为：
=
其中A 是不依赖于的常数，那么称函数在点处是可微的。而叫做函数在点相应于自变量的微分。记作dy，即
可微与可导的关系可微可导微分形式的不变性
（4） 微分的应用
a．求近似值 b.误差估计五．疑难解析学生在求复合函数、隐函数及参数方程所定的函数的导数时，最容易犯的错误就是,遗漏”，特别是对后两类函数更是如此。如果是求隐函数的导数，在方程两边对x求导时，首先应把y看成中间变量，x看成自变量，然后利用复合函数的求导法则在方程两边同时求导。如果是求参数方程所确定的函数的导数，从参数方程所确定的函数的求导法则的推导过程看，参数t事实上就是一个中间变量，因此参数方程所确定的函数的求导问题其实也属于复合函数求导问题。所以只要掌握好复合函数求导的链式法则，对此三类函数求导时就可以很好地避免“遗漏”问题。
导数与微分的区别
（1）是在点随自变量变化的快慢程度。而dy是函数改变的线性主部。
（2）导数的大小仅与有关。而微分dy不仅与有关，而且还与有关。对于给定的，是常数，而dy是时的无穷小。
（3）从几何上看，表示曲线在点处切线的斜率。而微分 表示切线上点的纵坐标相应于的改变量。
六．典型例题例1．=，求a，b为何值时，在x=0处连续且可导。
解： = = 1
= = a
要使在x = 0处连续，须有： = =
所以 a = 1
= = = 1,（）
= = = b
要使存在，须有, =
所以 b = 1
所以 a = b = 1时,在x = 0处连续且可导。
例2．设 = ，在x = a处连续，求
解： = =
即 =
例3．如果为偶函数，且存在，证明 = 0
证明： =
=
=
由于存在，因此 =
所以 = 0
例4．设在x = 0处可导，且 = 0,求
解, =
=
=
=
例5．设 求
解：设, , 则
所以：
例6．设y = 求
解：方法一：用商的求导法则
=
=
=
方法二：先化简再用求导法则
= = = =
例7．设 = ，其中为可导函数，求
解：两边对x求导，有
因此：
=
例8．设y是由方程 = 1所确定的函数，求 ，
解：将方程两边对x求导，视y为x的函数得
= 0
当x = 0时，y = ，将x = 0，y = 代入上式得： = 2
再对上式两边对x求导得：
= 0
将x = 0，y（0）= ， = 2代入上式得： =
例9．设，求
解：两边取对数，得：
两边对x求导，得：
=
=
例10．设 求：
解： = = =
= = =
例11．设，可微，求
解： =
=
所以：
设以2为周期的函数在内可导，且 = 1，
求曲线在点（3，）处的切线的斜率。
解： = = = 1
即： = 2
又因为
所以 =
从而 = = 2
所以所求的切线的斜率为2。
二．学习重点导数的定义，复合函数、隐函数及参数方程所确定函数的求导方法。
三．学习难点隐函数求导法则四．内容提要导数的概念设函数y = 在内有定义，且。如果存在，则称函数y = 在处可导。
注：1）导数的实质是函数在某一点处函数的相对变化率
2）左右导数左导数：
右导数：
3）导数与左右导数的关系函数在点处可导，当且仅当与存在且相等
4）导数的几何意义：
函数y = 在处的导数表示曲线y = 在点(,)处的切线斜率
5）可导与连续的关系：
可导必连续，但连续未必可导
6）函数在某一区间连续，则函数图形在该区间内将是一条连绵不断的曲线；在某点连续，则函数图形在对应点处不会“断开”。如果函数在某一区间可导，则函数图形在该区域将是一条“光滑”曲线。如果是在某一点可导，则函数图形在对应点处“光滑”，也就是说在该点处不会出现类似于y=|x| 在（0，0）点处的“尖点”。
求导法则基本初等函数的求导公式；
函数的和、差、积、商的求导法则；
复合函数求导法则设，，且及都可导，则复合函数 的导数为:
注：此法则可推广到由多个函数复合而成的情况反函数的求导法则设函数在区间上单调、可导，则其反函数 在对应区间也单调、可导，且
隐函数的求导法则：
将确定函数的方程两边对求导，再从求导后得到的等式中解出。
由参数方程所确定的函数的求导法则：
若,均可导，且单调，0，则
= =
微分微分的定义设函数在U（）有定义，且+ U（）。如果函数增量
=
可表示为：
=
其中A 是不依赖于的常数，那么称函数在点处是可微的。而叫做函数在点相应于自变量的微分。记作dy，即
可微与可导的关系可微可导微分形式的不变性
（4） 微分的应用
a．求近似值 b.误差估计五．疑难解析学生在求复合函数、隐函数及参数方程所定的函数的导数时，最容易犯的错误就是,遗漏”，特别是对后两类函数更是如此。如果是求隐函数的导数，在方程两边对x求导时，首先应把y看成中间变量，x看成自变量，然后利用复合函数的求导法则在方程两边同时求导。如果是求参数方程所确定的函数的导数，从参数方程所确定的函数的求导法则的推导过程看，参数t事实上就是一个中间变量，因此参数方程所确定的函数的求导问题其实也属于复合函数求导问题。所以只要掌握好复合函数求导的链式法则，对此三类函数求导时就可以很好地避免“遗漏”问题。
导数与微分的区别
（1）是在点随自变量变化的快慢程度。而dy是函数改变的线性主部。
（2）导数的大小仅与有关。而微分dy不仅与有关，而且还与有关。对于给定的，是常数，而dy是时的无穷小。
（3）从几何上看，表示曲线在点处切线的斜率。而微分 表示切线上点的纵坐标相应于的改变量。
六．典型例题例1．=，求a，b为何值时，在x=0处连续且可导。
解： = = 1
= = a
要使在x = 0处连续，须有： = =
所以 a = 1
= = = 1,（）
= = = b
要使存在，须有, =
所以 b = 1
所以 a = b = 1时,在x = 0处连续且可导。
例2．设 = ，在x = a处连续，求
解： = =
即 =
例3．如果为偶函数，且存在，证明 = 0
证明： =
=
=
由于存在，因此 =
所以 = 0
例4．设在x = 0处可导，且 = 0,求
解, =
=
=
=
例5．设 求
解：设, , 则
所以：
例6．设y = 求
解：方法一：用商的求导法则
=
=
=
方法二：先化简再用求导法则
= = = =
例7．设 = ，其中为可导函数，求
解：两边对x求导，有
因此：
=
例8．设y是由方程 = 1所确定的函数，求 ，
解：将方程两边对x求导，视y为x的函数得
= 0
当x = 0时，y = ，将x = 0，y = 代入上式得： = 2
再对上式两边对x求导得：
= 0
将x = 0，y（0）= ， = 2代入上式得： =
例9．设，求
解：两边取对数，得：
两边对x求导，得：
=
=
例10．设 求：
解： = = =
= = =
例11．设，可微，求
解： =
=
所以：
设以2为周期的函数在内可导，且 = 1，
求曲线在点（3，）处的切线的斜率。
解： = = = 1
即： = 2
又因为
所以 =
从而 = = 2
所以所求的切线的斜率为2。
