第二节 初等函数一,基本初等函数
1.幂函数,,( 是常数 ).
2.指数函数,,特别地,
3.对数函数,,特别地,,
注意,指数函数与对数函数互为反函数,
xy
)1,0(, aaay x,xey?
)1,0(,l o g aaxy a
xy ln?
4.三角函数,
5.反三角函数,
,t a n,c o s,s i n xyxyxy
,a r c c o s,a r c s i n xyxy
.c s c,s e c,c o t xyxyxy
.c o t,a r c t a n xa r cyxy
二,复合函数 初等函数
1.复合函数,设函数 的定义域为,
函数 在 上有定义,而
,
且,那末,对 通过函数 有确定的 与之对应,对于这个 通过 有确定的与之对应,从而得由 复合而成的复合函数,记作,而 为中间变量,
)(ufy? 1D
)(xu 2D
}),(|{ 22 DxxuuW
12 DW? 2Dx
)(xu
u u )(ufy?
y )(),( xuufy
)]([ xfy u
注意,
(1)不是任二个或二个以上的函数都复合成一个复合函数,如,
就不能复合成一个复合函数,
(2)任一复合函数都可以分解成一些简单函数的复合,此点在求复合函数的导数时很重要,如函数 可分解成,
uy a r c s in? 22 xu
2tanln
xy?
.2,t a n,ln xvvuuy
2.初等函数由常数与基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的并且用一个式子表示的函数,称为初等函数,如都是初等函数,)1l n (,
2t a nln
2xxyxy
3.双曲函数与反双曲函数
⑴ 双曲函数双曲正弦,,奇函数,图形过原点且关于原点对称,在 内,当时 当 时,.
),(,2
Dees h x
xx
),(x
,21 xeys h x xeys h x 21x
双曲余弦,,偶函数,图形关于 轴对称,在 内,在 内,
时,当 时,
,
),(,2
Deec h x
xx
y )0,( ),0(
x,
2
1 xeych xx
xeych x
2
1
双曲正切,,奇函数,图形过原点且关于原点对称,在内,且,当 时,; 当时,.即 为 的两条水平渐进线,
双曲函数的性质,
),(,
Dee eec h xs h xth x xx
xx
),(
1?thxx 1?thxx
1th x 1y thx
,)(,)( s h x s h yc h x c h yyxchc h x s h ys h x c h yyxsh
.2,22,1 2222 xshxchxchs h x c h xxshxshxch
2.反双曲函数反双曲正弦,(单值 ).
反双曲余弦,
反双曲正切,
),1l n ( 2xxa r s h xy
),1l n ( 2 xxa r c h xy
).0,1( yx主值
.11ln21 xxa r t h xy
函数举例,
例 1,设 求解,
,
1
)( 2
x
xxf
]].)]([[[)( xfffxf n?
2
2
2
2
2
2
21
)
1
(1
1
)(1
)(
)]([)(
x
x
x
x
x
x
xf
xf
xffxf
.
1
)(,,
31
)]([)(
2223 nx
xxf
x
xxffxf
n
例 2,设 求解,
即
,1)1( 22 xxxxf ).(xf
,2)(,2)1()1( 22 ttfxxxxf
.2)( 2 xxf
例 3,设 且 求及其定义域,
解,所以又 所以由 (1)得由 (2)得即 的定义域为
,)( 2xexf?,1)]([ xxf,0)(?x?
)(x?
,)( 2xexf?,)]([ )(2 xexf
,0)(?x?
.
)2(,11
)1(,1
)(
)(
2
2
xe
xe
x
x
;)1l n ()( xx
,0?x
)(x?,0?x
例 4,设 的图形关于直线 与 对称 则 为周期函数,
证明,
即 为周期函数,
),(),( xxfy
ax? bx? ),( ba? )(xf
)2()( xafxf 对称）关于 axxf?)((
)]2(2[ xabf 对称）关于 bxxf?)((
)](2[ abxf
)(xf
本节的学习到此结束
1.幂函数,,( 是常数 ).
2.指数函数,,特别地,
3.对数函数,,特别地,,
注意,指数函数与对数函数互为反函数,
xy
)1,0(, aaay x,xey?
)1,0(,l o g aaxy a
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4.三角函数,
5.反三角函数,
,t a n,c o s,s i n xyxyxy
,a r c c o s,a r c s i n xyxy
.c s c,s e c,c o t xyxyxy
.c o t,a r c t a n xa r cyxy
二,复合函数 初等函数
1.复合函数,设函数 的定义域为,
函数 在 上有定义,而
,
且,那末,对 通过函数 有确定的 与之对应,对于这个 通过 有确定的与之对应,从而得由 复合而成的复合函数,记作,而 为中间变量,
)(ufy? 1D
)(xu 2D
}),(|{ 22 DxxuuW
12 DW? 2Dx
)(xu
u u )(ufy?
y )(),( xuufy
)]([ xfy u
注意,
(1)不是任二个或二个以上的函数都复合成一个复合函数,如,
就不能复合成一个复合函数,
(2)任一复合函数都可以分解成一些简单函数的复合,此点在求复合函数的导数时很重要,如函数 可分解成,
uy a r c s in? 22 xu
2tanln
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.2,t a n,ln xvvuuy
2.初等函数由常数与基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的并且用一个式子表示的函数,称为初等函数,如都是初等函数,)1l n (,
2t a nln
2xxyxy
3.双曲函数与反双曲函数
⑴ 双曲函数双曲正弦,,奇函数,图形过原点且关于原点对称,在 内,当时 当 时,.
),(,2
Dees h x
xx
),(x
,21 xeys h x xeys h x 21x
双曲余弦,,偶函数,图形关于 轴对称,在 内,在 内,
时,当 时,
,
),(,2
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x,
2
1 xeych xx
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双曲正切,,奇函数,图形过原点且关于原点对称,在内,且,当 时,; 当时,.即 为 的两条水平渐进线,
双曲函数的性质,
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Dee eec h xs h xth x xx
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1th x 1y thx
,)(,)( s h x s h yc h x c h yyxchc h x s h ys h x c h yyxsh
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2.反双曲函数反双曲正弦,(单值 ).
反双曲余弦,
反双曲正切,
),1l n ( 2xxa r s h xy
),1l n ( 2 xxa r c h xy
).0,1( yx主值
.11ln21 xxa r t h xy
函数举例,
例 1,设 求解,
,
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例 2,设 求解,
即
,1)1( 22 xxxxf ).(xf
,2)(,2)1()1( 22 ttfxxxxf
.2)( 2 xxf
例 3,设 且 求及其定义域,
解,所以又 所以由 (1)得由 (2)得即 的定义域为
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,)( 2xexf?,)]([ )(2 xexf
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例 4,设 的图形关于直线 与 对称 则 为周期函数,
证明,
即 为周期函数,
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)2()( xafxf 对称）关于 axxf?)((
)]2(2[ xabf 对称）关于 bxxf?)((
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