第七节 广义积分
一,无穷限的广义积分定义 设 在 上连续,取,如果极限存在,则称该极限为 在 上的广义积分,记作,
即此时也称广义积分 收敛 ;如果极限不存在,则称广义积分 发散 (此时广义积分无意义 ),
)(xf ),[a ab?
b
ab
dxxf )(lim )(xf ),[a
a
dxxf )(
.)(l i m)(
b
aba
dxxfdxxf
a
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a
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设 在 上连续,取,如果极限存在,则称该极限为 在 上的广义积分,记作,
即此时也称广义积分 收敛 ;如果极限不存在,则称广义积分 发散,
],( b ba?)(xf
b
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b
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.)(lim)(
b
aa
b
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设 在 上连续,如果广义积分与都收敛,则称上述两个广义积分之和为在 上的广义积分,记作,
即此时也称 收敛 ;否则称 发散,
),()(xf
0
)( dxxf?
0
)( dxxf
)(xf
),(
dxxf )(
.)()()(
0
0
dxxfdxxfdxxf
dxxf )(?
dxxf )(
注,广义积分的计算也有类似于定积分的
Newton— Leibniz公式,
其中 是 在 上的一个原函数,
其中 是 在 上的一个原函数,
且,
其中 是 在 上的一个原函数,
).()(lim)()( aFxFxFdxxf
xa
a
)(xF )(xf ),[a
).()()()(
FbFxFdxxf b
b
)(xF )(xf ],( b
)(l i m)( xFF x
.)()()( 00
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其计算方法完全类似于定积分,
例 1 求,
解,原式等于所以
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0
2
0
2 1
1
1
1 dx
xdxx
2)2(0a r c t a nl im0a r c t a n
0
xx x
.2020a r c t a nlima r c t a n 0 xx x
.221 1 2
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例 2 求 或求,
解,
)0(,
0
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1
2
a r c t a n dx
x
x
0000
111 dte
pteptd epdtte
ptptptpt
.11 202 pep pt
例 3 证明广义积分 当 时收敛 ;当 时发散,
证明 当 时,
所以 当 时发散,
当 时,
所以当 时,收敛,其值为 ;
当 时,广义积分发散,
a
p adxx )0(,
1 1?p
1?p
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a
aa
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a
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1
1
1
p
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二,无界函数的广义积分定义 设 在 上连续,在 内无界,
取,如果极限存在,则称此极限为 在 上的广义积分,记为,即此时也称广义积分 收敛,如果极限不存在,则称广义积分发散,
],( ba
0
),(aa)(xf
b
a
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)(l im
0
b
a
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b
a
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设 在 上连续,在 内无界,
取,如果极限存在,则称该极限为 在 上的广义积分,
记作,即此时也称广义积分 收敛,如果极限不存在,则称广义积分发散,
),[ ba ),( bb
0
)(xf
b
a
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0
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b
a
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a
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设 在 上除点 外连续,
而在 内无界,如果两个广义积分都收敛,则定义否则,称广义积分,
)( bcac
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],[ ba)(xf
b
c
c
a
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。
b
c
c
a
b
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b
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注,无界函数的广义积分也有类似于定积分的 Newton— Leibniz公式,即其中 在 的右侧无界,
其中 在 的左侧无界,
其中 在 的附近无界,
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a
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定积分的计算方法对无界函数的广义积分也成立,
例 4 求解所以
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202
0a r c s ina r c s inlima r c s in1
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a
例 5 证明广义积分 当 时收敛 ;当时发散,
证明,当 时所以当 时,广义积分发散,
当 时,
所以,当 时,广义积分收敛,其值为 ;
当 时,广义积分发散,
b
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一,无穷限的广义积分定义 设 在 上连续,取,如果极限存在,则称该极限为 在 上的广义积分,记作,
即此时也称广义积分 收敛 ;如果极限不存在,则称广义积分 发散 (此时广义积分无意义 ),
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即此时也称广义积分 收敛 ;如果极限不存在,则称广义积分 发散,
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即此时也称 收敛 ;否则称 发散,
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其中 是 在 上的一个原函数,
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例 1 求,
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例 3 证明广义积分 当 时收敛 ;当 时发散,
证明 当 时,
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二,无界函数的广义积分定义 设 在 上连续,在 内无界,
取,如果极限存在,则称此极限为 在 上的广义积分,记为,即此时也称广义积分 收敛,如果极限不存在,则称广义积分发散,
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设 在 上连续,在 内无界,
取,如果极限存在,则称该极限为 在 上的广义积分,
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注,无界函数的广义积分也有类似于定积分的 Newton— Leibniz公式,即其中 在 的右侧无界,
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定积分的计算方法对无界函数的广义积分也成立,
例 4 求解所以
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例 5 证明广义积分 当 时收敛 ;当时发散,
证明,当 时所以当 时,广义积分发散,
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所以,当 时,广义积分收敛,其值为 ;
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