第五节 定积分的分部积分法
由不定积分的分部积分法,相应地有定积分的分部积分法,
上式即为定积分的分部积分法,

b
a
b
a
b
a
dxuvuvdxvu
例 1 求解,
例 2
.arcs in
2
1
0
xdx
dx
x
xxxx d x

2
1
0
2
2
1
0
2
1
0 1
a r c s i na r c s i n

2
1
0
2
2
)1(
1
1
2
1
12
xd
x
.12 312112 2
1
0
2 x
.2)(2)(222 10
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0

ttttt
xt
x eedtetetd edttedxe
例 3 证明证明,

.,1
3
2
5
4
2
31;,
22
1
4
3
2
31
c o ss i n
2
0
2
0 为奇数为偶数
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x d xx d xI nnn

2
0
2
0
0
2
22
0
c o sc o s)(c o ss i n

x d xt d tdttx d x nnn
tx
n

2
0
1
2
0
1
2
0
c o ss i ns i ns i ns i n

xxdx d xxx d xI nnnn

2
0
22
2
0
222
0
1 )s i n1(s i n)1(c o ss i n)1(s i nc o s

dxxxnx d xxnxx nnn
即所以由此有,当 为偶数时,
而

2
0
2
0
2 s i n)1(s i n)1(

dxnx d xn nn
,)1()1( 2 nnn InInI
.1 2 nn InnI
042 2
1
4
3
2
31
2
311 I
n
n
n
nI
n
n
n
nI
n
nI
nnn

n
.
2
1
2
0
0
dxI
所以 为偶数,
当 为奇数时,
而所以为奇数,
nnnnnI n,22143231
n
13
2
5
4
2
31 I
n
n
n
nI
n

.1s i n
2
0
1
x d xI
nnnnnI n,13254231
例 4 设求,(设 连续 ),
解,
,5)2(,3)2(,1)0( fff

1
0
)2( dxxf )(xf

2
0
2
0
21
0
)(41)(41)2( tftddttftdxxf
xt

2
0
2
0 )(4
1)(
4
1 dttftft
.2)13(4125)(4125 20 tf
例 5 求,其中解,
1
0
2 )( dxxfx,
1
1)(
1
4
x
dt
t
xf

1
0
31
0
3
1
0
3
1
0
2 )(
3
1)(
3
1)(
3
1)( dxxfxxfxdxxfdxxfx
)1(
1
1
12
1
13
1]0)1([
3
1 41
0
1
0
44
3
xd
x
dx
x
xf?

).21(61)12(61161 104 x
本节的学习到此结束