第四节 几种特殊类型函数的积分
一,有理函数的积分
1.有理函数的分解给定有理函数
(1)
其中 为正整数,
为实数且
mm
mm
nn
nn
m
n
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
1
1
10
1
1
10
)(
)(
nm,mn bbbaaa,,,;,,,1010
.0,00?ba
假设 与 没有公因式
(1)当 时,称有理函数为真分式,
(2)当 时,称有理函数为假分式,但假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和,
下面给出真分式的一个性质,
)(xPn )(xQm
nm?
nm?
在实数范围内,必能分解成一次因式与二次不可约因式的乘积,即其中,则真分式 可分解成下列部分分式之和,
)(xQm
)()()()()( 220 srxxqpxxbxaxbxQ m
04,,04 22 srqp?
)(
)(
xQ
xP
m
n
)(
)(
xQ
xP
m
n
)()( 2
21
ax
A
ax
A
ax
A
)()()( 221 bx Bbx Bbx B?
)()( 222 222 11 qpxx NxMqpxx NxMqpxx NxM?
其中是实数,那么怎样确定分解式中的待定系数呢?请见下例,
)()( 222
22
2
11
srxx
SxR
srxx
SxR
srxx
SxR
SRSRNMNMBBAA,,,,,,,,,,,,,,,111111
例 1 将有理分式 分解成部分分式之和,
解 设去分母,有确定系数的方法有二,
22
34
)1)(12(
542
xx
xxx
22222
34
)1(112)1)(12(
542
x
EDx
x
CBx
x
A
xx
xxx
)12)(()1)(12)(()1( 222 xEDxxxCBxxA
.542 34 xxx
方法一,比较同类项系数,有故解得 所以
234 )222()2()2( xDCBAxBCxBA
)()22( ECAxEDCB
.542 34 xxx
.0
,522
,0222
,42
,22
ECA
EDCB
DCBA
CB
BA
.0,1,2,0,2 EDCBA
.)1(1212 2)1)(12( 542 22222
34
x
x
xxxx
xxx
方法二,赋值法,
令 得,
令 得,
所以解得令 得 ;再令 得,
所以
2
1?x 2?A
ix? iDEEDi )2()2(2
.12
,2)2(
DE
ED
.0,1 ED
0?x 2?C 1?x 0?B
.0,1,2,0,2 EDCBA
2.有理分式的积分从有理分式的分解式知,有理分式的积分转化成以下几类积分,
(1) —— 多项式的积分 ;
(2)
(3)
(4)
(5)
(4),(5)类型的积分在下面例子中介绍,
dxxQ xP
m
n
)(
)(
dxxR )(;ln1 Caxdxax;1,)(1 1)( 1 1 kCaxkdxax kk;04,22 qpdxqpxx NMx
.04,)( 22 qpdxqpxx NMx k
例 2 求解
.32 22 dxxx x
dxxx xdxxx xdxxx x 32 6)22(2132 422132 2 222
dxxxdxxx x 321332 2221 22
)1()2()1( 1332 )32(21 222
2
xdxxx xxd
Cxxx 2 1a r c t a n213)32ln (21 2
.2 1a r c t a n23)32ln (21 2 Cxxx
注,
的积分方法是将 化成
,从而有而,所以
dxqpxx NMx2 Mx
)( 2 qpxxd
dxqpxxlqpxx qpxxdkdxqpxx NMx 22
2
2
1)(
222 )( baxqpxx
.a r c t a n1)()( 11 222 Cb axbaxdbaxdxqpxx
例 3 求解所以
.)1( 1 2 dxxx
2222 )1(
1
)1(
)1(
)1(
1
)1(
1
)1(
)1(
)1(
1
xxx
xx
xxxxx
xx
xx
2)1(
1
1
11
xxx
.111lnln])1( 1111[ 2 Cxxxdxxxx
dxxx 2)1( 1
例 4 求解而所以
.)1)(12( 542 22
34
dxxx xxx
dxx xxxdxxx xxx ])1(1212 2[)1)(12( 542 22222
34
dxx xdxxdxx 222 )1(11212 2
Cxx xddxx 12ln)12( )12(12 2
Cxdxx a r c t a n112
Cxx xddxx x )1(2 1)1( )1(21)1( 222
2
22
.)1(2 1a r c t a n212ln)1)(12( 542 222
34
Cxxxdxxx xxx
二,三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指,其中为有理函数,即 是关于的有理式,
)c o s,( s i n xxR ),( vuR
xx c o s,s in)c o s,( s i n xxR
例 5 求解 用万能代换,,则所以
dxxx x )c o s1(s in s in1
2tan
xt?
dttdxttxttxttx 22222 1 2,1 2t a n,11c o s,1 2s in
Ctttdtttdxxx x ln2141)12(21)c o s1(s in s in1 2
.2t a nln212t a n2t a n41 2 Cxxx
注意,
对于三角函数有理式,万能代换,
不一定是最简代换,如
(1) 时,作,
或
(2)直接凑微分进行积分,
2tan
xt?
)2c o s,2( s i n)c o s,( s i n xxSxxR? xt tan?
三,简单无理函数的积分
.其基本思路是作变量代换,去掉根号,化无理分式为有理分式,
例 6 求解 为除掉,令,则,所以
dxdcx baxxRdxbaxxR nn ),(,),(
.)1( 3 xxdx
3,xx 6tx? dttdx 56?
dttdtttdttttxxdx )1 11(61 1)1(6)1(6)1( 2223253
.)a r c t a n(6)a r c t a n(6 66 CxxCtt
例 7 求解 令,则,
所以
dxx xx 11
x
xt 1 dt
t
tdx
tx 222 )1(
2,
1
1
Ctttdttdtt tdxx xx )11ln21(2)111(21211 22 2
.ln)1
1
ln (2
1
2
1
1
1
1
ln
1
2 Cx
x
x
x
x
C
x
x
x
x
x
x
本章的学习到此结束
一,有理函数的积分
1.有理函数的分解给定有理函数
(1)
其中 为正整数,
为实数且
mm
mm
nn
nn
m
n
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
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1
1
10
1
1
10
)(
)(
nm,mn bbbaaa,,,;,,,1010
.0,00?ba
假设 与 没有公因式
(1)当 时,称有理函数为真分式,
(2)当 时,称有理函数为假分式,但假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和,
下面给出真分式的一个性质,
)(xPn )(xQm
nm?
nm?
在实数范围内,必能分解成一次因式与二次不可约因式的乘积,即其中,则真分式 可分解成下列部分分式之和,
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其中是实数,那么怎样确定分解式中的待定系数呢?请见下例,
)()( 222
22
2
11
srxx
SxR
srxx
SxR
srxx
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SRSRNMNMBBAA,,,,,,,,,,,,,,,111111
例 1 将有理分式 分解成部分分式之和,
解 设去分母,有确定系数的方法有二,
22
34
)1)(12(
542
xx
xxx
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34
)1(112)1)(12(
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xx
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方法一,比较同类项系数,有故解得 所以
234 )222()2()2( xDCBAxBCxBA
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.542 34 xxx
.0
,522
,0222
,42
,22
ECA
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.0,1,2,0,2 EDCBA
.)1(1212 2)1)(12( 542 22222
34
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方法二,赋值法,
令 得,
令 得,
所以解得令 得 ;再令 得,
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.0,1,2,0,2 EDCBA
2.有理分式的积分从有理分式的分解式知,有理分式的积分转化成以下几类积分,
(1) —— 多项式的积分 ;
(2)
(3)
(4)
(5)
(4),(5)类型的积分在下面例子中介绍,
dxxQ xP
m
n
)(
)(
dxxR )(;ln1 Caxdxax;1,)(1 1)( 1 1 kCaxkdxax kk;04,22 qpdxqpxx NMx
.04,)( 22 qpdxqpxx NMx k
例 2 求解
.32 22 dxxx x
dxxx xdxxx xdxxx x 32 6)22(2132 422132 2 222
dxxxdxxx x 321332 2221 22
)1()2()1( 1332 )32(21 222
2
xdxxx xxd
Cxxx 2 1a r c t a n213)32ln (21 2
.2 1a r c t a n23)32ln (21 2 Cxxx
注,
的积分方法是将 化成
,从而有而,所以
dxqpxx NMx2 Mx
)( 2 qpxxd
dxqpxxlqpxx qpxxdkdxqpxx NMx 22
2
2
1)(
222 )( baxqpxx
.a r c t a n1)()( 11 222 Cb axbaxdbaxdxqpxx
例 3 求解所以
.)1( 1 2 dxxx
2222 )1(
1
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1
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Cxxxdxxx xxx
二,三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指,其中为有理函数,即 是关于的有理式,
)c o s,( s i n xxR ),( vuR
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例 5 求解 用万能代换,,则所以
dxxx x )c o s1(s in s in1
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.2t a nln212t a n2t a n41 2 Cxxx
注意,
对于三角函数有理式,万能代换,
不一定是最简代换,如
(1) 时,作,
或
(2)直接凑微分进行积分,
2tan
xt?
)2c o s,2( s i n)c o s,( s i n xxSxxR? xt tan?
三,简单无理函数的积分
.其基本思路是作变量代换,去掉根号,化无理分式为有理分式,
例 6 求解 为除掉,令,则,所以
dxdcx baxxRdxbaxxR nn ),(,),(
.)1( 3 xxdx
3,xx 6tx? dttdx 56?
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例 7 求解 令,则,
所以
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2,
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本章的学习到此结束
