第三节 分部积分法
由两个函数 与 乘积的微分有两边积分得即上式称为分部积分公式,
其基本思路是,难求,此时通过分部积分公式,将求 转化为求,而此时易求,
u v
v d uu d vuvd)(
,)( v d uuvdudv
, v d uuvudv
. dxuvuvdxvu
dxvu
dxuvdxvudxuv
常用分部积分方法求不定积分的类型为,
1,型不定积分 ;
例 1 求解 取,所以
dxaxPx d xxPx d xxP xnnn )(,c o s)(,s i n)(
.co s? xdxx
xvxu c o s,
.c o ss i ns i ns i ns i nc o s Cxxxx d xxxxxdx d xx
例 2 求解 取,则
注 (1):对积分取 分别为
xxxxx x d eexdxxeexdex 22 222
.2? dxex x
xevxu,2
dxex x2
Cexeexdxexeex xxxxxx 2222 22
.)22( 2 Cexx x
,)(,c o s)(,s i n)( dxaxPx d xxPx d xxP xnnn
dxvxPu n ),(
.ln 1,s in1c o s,c o s1s in xx daadxaxdx d xxdx d x
2.
型不定积分,
例 3 求解 取,则
x d xa r cxP n c o t)(
xdxx n ln
,a r c c o s)(,a r c s i n)(,ln)( x d xxPx d xxPx d xxP nnn?
,a r c t a n)( x d xxP n
.ln? xdxx n
1
1
1,ln?
nn dx
ndxxdxvxu
)ln(11ln11 11 dxxxxnx d xn nnn
.)1ln(11
1
1 C
n
xxx
n
n
n?
例 4 求解 取,则注 (2):对于以上类型的不定积分,则取
.arctan? xd xx
2
2
1,a r c t a n dxx d xdxvxu
dxxxxxx d x 2222 121a r c t a n21a r c t a n21
dxxxx )1 11(21a r c ta n21 22
.21a r c t a n)1(21 2 Cxxx
xdxx arctan
Cxxxx a r c t a n2121a r c t a n21 2
.)(,c o t,a r c t a n,a r c c o s,a r c s i n,ln dxxPdxvxa r cxxxxu n
3,型不定积分,
例 5 求解所以故注 (3):对于以上两类不定积分,通过两次分部积分 (一般取,)后还原到原不定积分,从而解出原不定积分,
x d xex d xe xx s i n,c o s
).0(,c o s 22 x d xe x
xdxe x co s x d xexex d e xxx s i nc o s1c o s1
x d xexeex d exe xxxxx c o ss i nc o s1s i nc o s1 222
.s inc o sc o s 22
22
Cexxx d xe xx
.s inc o sc o s 22 Cexxx d xe xx
dxedxvxxu x,co s,s i n
4.杂例例 6
所以即
xxdx d xxx d x t a ns e cs e cs e cs e c 23
x d xx d xxx s e cs e ct a ns e c 3
x d xxxx 2t a ns e ct a ns e c
.t a ns e clns e ct a ns e c 3 xx d xxx
.2t a ns e clnt a ns e cs e c2 3 Cxxxxx d x
.)t a ns e clnt a n( s e c21s e c 3 Cxxxxx d x
例 7
所以故
dxaxaxxdx
ax
xaxxdxax
222222
2
2222
2222222
22
2 ln1 axxadxaxaxxdx
axa
,2ln2 2222222 Caxxaaxxdxax
.ln22 22
2
2222 Caxxaaxxdxax
例 8 求解 令,有,故
.3 dxe x?
3 xt? dttdxtx 23 3,
ttttttx td eetdtteetdetdtetdxe 636333 22223
Ceteetdteteet tttttt 663663 22
.)22(3 333 2 Cexx x
例 9 已知 的一个原函数为,求解 (1)
因为 是 的一个原函数,所以代入 (1)式,有注,此题也可先求出,再求当一般用方法一简单明嘹,
)(xf xxcos,)( dxxfx
dxxfxxfxx d fdxxfx )()()()(
xxcos )(xf
.s i nc o s)c o s()( xxxxxxf
.s i nc o s)s i n( c o s)( 2 CxxCxxxxxxdxxfx
xxxxf c o ss i n2)(
x d xxx d xxdxxxxxdxxfx c o ss i n2)c o ss i n2()( 2
Cxxx d xxxxx d xxxdxx d xx s i ns i n2s i ns i n2s i ns i n2 222
本节的学习到此结束
由两个函数 与 乘积的微分有两边积分得即上式称为分部积分公式,
其基本思路是,难求,此时通过分部积分公式,将求 转化为求,而此时易求,
u v
v d uu d vuvd)(
,)( v d uuvdudv
, v d uuvudv
. dxuvuvdxvu
dxvu
dxuvdxvudxuv
常用分部积分方法求不定积分的类型为,
1,型不定积分 ;
例 1 求解 取,所以
dxaxPx d xxPx d xxP xnnn )(,c o s)(,s i n)(
.co s? xdxx
xvxu c o s,
.c o ss i ns i ns i ns i nc o s Cxxxx d xxxxxdx d xx
例 2 求解 取,则
注 (1):对积分取 分别为
xxxxx x d eexdxxeexdex 22 222
.2? dxex x
xevxu,2
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Cexeexdxexeex xxxxxx 2222 22
.)22( 2 Cexx x
,)(,c o s)(,s i n)( dxaxPx d xxPx d xxP xnnn
dxvxPu n ),(
.ln 1,s in1c o s,c o s1s in xx daadxaxdx d xxdx d x
2.
型不定积分,
例 3 求解 取,则
x d xa r cxP n c o t)(
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,a r c c o s)(,a r c s i n)(,ln)( x d xxPx d xxPx d xxP nnn?
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例 4 求解 取,则注 (2):对于以上类型的不定积分,则取
.arctan? xd xx
2
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1,a r c t a n dxx d xdxvxu
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.)(,c o t,a r c t a n,a r c c o s,a r c s i n,ln dxxPdxvxa r cxxxxu n
3,型不定积分,
例 5 求解所以故注 (3):对于以上两类不定积分,通过两次分部积分 (一般取,)后还原到原不定积分,从而解出原不定积分,
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).0(,c o s 22 x d xe x
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4.杂例例 6
所以即
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例 7
所以故
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例 8 求解 令,有,故
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例 9 已知 的一个原函数为,求解 (1)
因为 是 的一个原函数,所以代入 (1)式,有注,此题也可先求出,再求当一般用方法一简单明嘹,
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.s i nc o s)s i n( c o s)( 2 CxxCxxxxxxdxxfx
xxxxf c o ss i n2)(
x d xxx d xxdxxxxxdxxfx c o ss i n2)c o ss i n2()( 2
Cxxx d xxxxx d xxxdxx d xx s i ns i n2s i ns i n2s i ns i n2 222
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