定积分 2
例题
1.求分析 被积函数含自变量,不能直接用积分上限函数的求导方法,因此首先将被积函数中的 变到积分符号外面来,
解 原式典型错误,
.)]()([
2
0
2
x
dttftxdxd
x
x
])()([
22
00
2
xx
dtttfdttfxdxd
.)(22)(2)()(2
22
0
2222
0
xx
dttfxxxfxxxfxdttfx
.0))(()()]()([ 2222
0
2
2
xxfxxdttftxdxd
x
2.设,求,
分析 将被积函数中的 分离出来,为此作变量代换,
解 令,则,由定积分的换元法,得两边对 求导,得总结,……,
x
dtt xtxf
2
)s i n ()( )(xf?
x
uxt? du
xdtx
ut 1,
.s in1s in)(
22
22
x
x
x
x
du
u
udu
x
x
u
uxf
x
.2s ins in222 2s in2s in)(
2
2
2
x
x
x
x
x
xx
x
xxf
3.设 为连续函数,且 求
[分析 ] 此类方程是所谓的积分方程,解题思路是除掉积分号,要注意积分变量 与积分上限函数的自变量 的区别,
解 方程两边同时对 求导得
,则令,所以,故,
即
,1)(310 2x xdxxf)(xf ).(xf
x
x
x
xxxf 23)1( 23,
3
2)1( 3
xxf
tx 31 3 1 tx
3 13
2)(
ttf
).1(?t
3 13
2)(
xxf
).1(?x
4．已知 连续,且,
求解 方程两边同时对 求导得
…… （ 1）
由于左边 与 不能分离,令,由定积分的换元法,得则（ 1）化成
x u xdttutfdu0 0 2s i n)(
.)(20?
dxxf
)(xf
x
x xdttxtf0 2s i n)(
tx utx
0 00 )()()()()( x xx duufuxduufuxdttxtf
.)()(0 0 x x duuufduufx
…… （ 2）
（ 2）两边同时对 求导得即 …… （ 3）
令,代入 (3)式得
x x duuufduufx 0 0 )()(
x
x xxxfxxfduuf0 2c o s2)()()(
x xduuf0 2c o s2)(
2
x
.2)(20
dxxf
5．设 在 处可导,且求解,注意到,所以又 为常数,设为 A.则
0?x)(xf
,)1ln ( )(lim)()( 10
0
232?
x
xfxdxxfxxxf
x
).(xf
0)0(?f
)0(0 )0()(lim)(lim)1ln ( )(lim 000 fx fxfx xfxxf xxx
10 )( dxxf
.)0()( 232 xfAxxxf
上式两边对 求导得得,所以,而得故
.)0(232)( 2 xfAxxxf
x
0)0(f 32)( Axxxf
,4131)()( 10 3210 AdxAxxdxxfA
,94?A
.94)( 32 xxxf
6．设,求解,方程两边积分得所以故注意,是常数,
102 )()( dxxfxxxf ).(xf
10 10 10 102 )()( x d xdxxfdxxdxxf
10 )(2131 dxxf
.32)(10dxxf
.32)( 2 xxxf
10 )( dxxf
7．设 为非负连续函数,
且,求解,定积分的证明,计算应考虑作一定的变形,原方程化成,且即 为 的原函数,故令,则,又由条件得两边积分得
)0)((?xxf
x xdttfxf0 2 2s i n)()( ).(xf
x xdttfxf 0 2 2s i n)()(
),())(( 0 xfdttfxx dttf0 )()(xf
x dttfxF 0 )()( )()( xfxF
,)()()()(0 0x x dttfxfdttfxf,2s i n)()( 2 xxFxF
.4s in81212 4c o s12s in2 )( 2
2
Cxxdxxx d xxF
注意到,所以,故因为,由定积分的性质得所以而
0)0(?F 0?C
xxxF 4s i n41)(2
)0(0)( xxf,0)(?xF
.4s i n41)( xxxF
.
4s i n
4
1
2
4c o s1
4s i n
4
1
2
44c o s
4
1
1
)()(
xx
x
xx
x
xFxf
8．设 是区间 上的任一非负连续函数,
⑴ 试证明存在 使得在区间上以 为高的矩形的面积等于区间上以 为曲边的曲边梯形的面积,
⑵ 又设 在 内可导且证明⑴中的 唯一,
)(xfy? ]1,0[
)1,0(0?x ],0[ 0x
)( 0xf ]1,[ 0x
)(xfy?
)(xf )1,0(,)(2)(
x
xfxf
0x
证明,⑴ 要证明存在 使得只需证明 在内有一根,为此设,在上连续,而 在 内存在,
且,由罗尔定理,至少存在一点使得,即
)1,0(0?x
,)()( 100
0
dttfxfx x dttfxxf x 1 )()( )1,0(
dttfxxF x 1 )()( ]1,0[
1 )()()( x xxfdttfxF )1,0(
0)1()0( FF
)1,0(0?x 0)( 0 xF
.)()( 100
0
dttfxfx x
⑵
由条件 知,即所以 在 内严格单调递减,故 在内的根唯一,即⑴中的 唯一,
),()(2)()()()( xfxxfxfxfxxfxF
x
xfxf )(2)( )(2)( xfxfx,0)( xF
)(xF? )1,0( )(xF?
)1,0( 0x
9．
解 虽然积分区间是对称区间,但被积函数既非奇函数也非偶函数,
原式对于所以 原式
6
6
2
1
s in?
dxe
x
x
0
6
6
0
22
1
s i n
1
s i n
dxe xdxe x xx
,1s i n1s i n1s i n 0
6
6
0
220
6
2
dxe
xdt
e
ttxdx
e
x
xtx 令
60 60 602260 2 2 2c o s1s in1 s in1s in dxxx d xdxe xdxe x xx
.8 3122 34112)2s i n412( 60
xx
10．
解 原式
11．
解 原式
.)1(10 2
3
4 dxxx
dtttxdxx 10 2
3
2221
0
2
3
2 )1(
2
1)](1[
2
1
.3232214321c o s21s in 20 4
u d uut令
.2c o s140
dxxx
40404040 2 t a n21t a n21t a n21c o s2
x d xxxxxddxxx
.2ln4182ln218|c o s|ln218 40
x
12．设 求解,
因为 所以
.0)0(,)1ar cs i n ()( 2 fxxf,)(1
0 dxxfI
10 21010 )1a r c s i n ()1()()( dxxxfdxxfxxxfI
,)()0()1()1( 10 dxxffff
dxxxdxxI 21010 2 )1a r cs i n ()1a r cs i n (
10 2)1a r c s i n ()1( x d xxx
10210 22 a r c s in21)1()1()1a r c s in (21 u d uuxxdx 令
).12(21)12(21)
1
a r c s i n(21 10210 210
udu
u
uuu
13．计算广义积分解 为无界点,所以注意,积分不可以一个折成两个积分,而无穷限的广义积分,如果其中一个不存在,则整个积分不存在,
.])1( 1ln 1[21 22 dxxxxI
1?x
)ln 111(l im)2ln 11()11ln 1( 012 01 xxxxI x
xx
xx
x ln)1(
1lnlim)
2ln
11(
01?
.
2ln
1
2
3
11
1
lim
2ln
1
1
1
ln
1
1
lim
2ln
1
1
2
2
0101
xx
x
x
x
x
x
xx
14．求极限解 复习定积分的定义因为
).
1
s in
2
1
2s in
1
s in
(lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n?
)()()()()(lim
10
aFbFxFdxxfxf ba
n
i
b
aii
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nnn 1
s in
2
1
2
s in
1
s in
)s in
2
s in( s in
1
1
)s in2s in( s in1 nnnnn
而同理由夹逼定理得原极限为
101 s in1s inlim)s in2s in( s in1lim x d xnninnnnn ninn
2c o s1 1
0 x
)s i n2s i n( s in11l im nnnnnn
)s i n2s i n( s in11l im nnnnnn nn
2)s i n2s i n( s in1l im
n
n
nnnn
.2?
15．求极限解 因为 所以原式注意,（无穷小与有界变量的乘积为无穷小）,
.
)1l n ()c o s21(
)1c o ss i n3(
l i m
0
0
2
0?
x
x
x dttx
dt
t
tt
,1)c o s21(lim
0
x
x
)1l n (
1c o ss i n3
l i m00
)1l n (
)1c o ss i n3(
l i m
2
0
0
0
2
0 x
x
xx
dtt
dt
t
tt
xx
x
x?
型
3)03()1c o ss i n3(l i m
1c o ss i n3
l i m~)1l n (
0
2
0
x
xx xx x
xx
xx
xx
01c o sl i m0 xxx
16．设 连续,求解所以 原式注意：
)(xf?,1)0(,0)0( ff,
)(
)(
l im 1
0
3
0
2
0
2
dtxtfx
dttxf
x
x
2222 00020 2 )()())(()( xxxx dttfduufduufutxdttxf 令
xx dttfxduufxuxtdtxtf 0010 )(1)(1)( 令
)()(3
)(4lim
)()(2
)(2lim
)(
)(
lim
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
xfxxf
xfx
xxfdttf
xf
dttfx
dttf
xxxx
x
x
1
113
14
)()(3
)(4l i m 2
0
xf
x
xf
xf
x
.)0(,0)0()(l im 0 AffAx xfx
17．设 满足 令求解 从定义出发
)(xf,2)0(,0)0( ff
x
x
dtxtf
xF
)1l n (
0
)(
)(
2
1
0
0
0
0
x
x
x
).0(F?
,)0()0()0( AFFAF
1)1l n (lim
0)1l n (
lim
0
)0()(lim)0(
2
2
0
2
00
x
x
x
x
x
x
FxFF
xxx
所以不等式的证明,
2
0
0
1
0
00
)(
l im
)(
l im0 )0()(l im)0( x
duuf
uxtx
dtxtf
x
FxFF
x
xxx
令
1)0(212 )(li m 0 fxxfx
.1)0(F
18．设 在区间 上连续可导,
且,证明证明 只需证明令 注意到,所以只需证显然 在 上连续可导，而
,1)(0 xf
0)(?xf
)(xf ]1,0[
.)(])( 10 3210 dxxfdxxf
.0)(])( 10 3210 dxxfdxxf
,)(])()( 0 320 tt dxxfdxxftg 0)0(?g
.0)0()1( gg
)(tg ]1,0[
)].()(2)[()()()(2)( 2030 tfdxxftftftfdxxftg tt
设,则所以 在 上单调增加,当 时,
有所以 故 #
范,若将条件 改为,则证明是正确的,你看如何?
)()(2)( 20 tfdxxfth t
.0)](1)[(2)()(2)(2)( tftftftftfth
)(th ]1,0[ )1,0(?t
.0)0()( hth
,0)( tg,0)0()1( gg
0)(?xf 0)(?xf
19．设 在 上连续且单调增加,
证明,
证明 设 注意到只要证由条件知 在 上连续可导,且其中 所以 在 上单调增加,
故
)(xf ],[ ba
.)(2)( baba dxxfbadxxxf
,)(2)()( bata dxxftadxxxftg,0)(?ag
.0)()( agbg
)(tg ],[ ba
tata dxxftfattftadxxfttftg )(21)(2)(2)(21)()(
.0)]()([2)(2)(2 ftfatfattfat
).,( ta )(tg ],[ ba
.0)()( agbg
20．设 在 上有连续的导数,
且,证明,
证明,因为 在 上连续,所以在 上也连续,必有最大值,设只要证
0)()( bfaf
)(xf ],[ ba
.|)(|)( 4|)(|m a x 2
b
abxa dxxfabxf
)(xf? ],[ ba )(|)(| 2 xfxf
],[ ba |,)(|m a x xfM
bxa
MabMabdxxfba 2
2
)2(4 )(|)(|
b ba
ba
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
2
2 |)(||)(||)(|
b ba
ba
a
dxxfbfdxafxf
2
2 |)()(||)()(|
b ba
ba
a
dxxbfdxaxf
2
2
2
1 |))((|))((|
b ba
ba
a
dxxbMdxaxM
2
2 )()(
.4 )()(2)(2
2
2
222 MabxbMaxM b
ba
ba
a?
21.设,证明：
证明,用泰勒公式取,则,
所以因此
10,0)( ttf,)
3
1()(1 2
o fdxxf
))(()()(!2 )())(()()( 00020000 xxxfxfxxfxxxfxfxf
3
1
0?x )3
1)(
3
1()
3
1()( xffxf )10( x
)31)(31()31()( 22 xffxf )10( 2 x
).31()31()31()31()( 21010210 fdxxfdxfdxxf
二．选择与填空
1．曲线 与 轴及 所围平面面积为
( ).
（ A） （ B） （ C） （ D）
2．若,则 的驻点为 ( ),
（ A） -1 （ B） 1
（ C） -1,1,0 （ D） -1,1
xy ln? ex?x
10 ln xdx?e xdx1 ln?10 |ln| dxx?e xdx0 ln
21 )1()( x t dtetxf )(xf
3．设 连续可导,则在下列各等式中正确的是 ( ).
（ A） （ B）
（ C） （ D）
4．设 在 上连续,且,
设,则 ( ).
（ A） 0 （ B） 2 （ C） -2 （ D） 1
)(xf
)()( xfdxxf )()( xfdxxfxa
)()( xfdxxfdxd xa )()( xfdxxfdxd ba
),()(xf 2)0(?f
2s i n )()( x x dttfxF )0(F
5．已知,则 ( ).
（ A） （ B）
（ C） （ D）
6,( ).
（ A） （ B）
（ C） （ D）
)()( xfxFx
a dtatf )(
)()( aFxF? )()( aFtF?
)2()( aFaxF )()( aFaxF
xa dttf )2(
)]()([2 afxf?
)]2()2([2 afxf?
)2()2( afxf?
)]2()2([21 afxf?
7．设 为连续函数,且,则有（ ）成立,
（ A） （ B）
（ C） （ D）
8．设,则 ( ).
（ A） 8 （ B） 16 （ C） 4 （ D） 2
CxFdxxf )()()(xf
)()( xFdttfxa
)(])([ xfdttFxa
CxFdttFxa )())((
)(])([ xfdttFax
2)(
2x
dttFxo16
0 )(
1 dxxf
x
9．设 为连续函数,则
( ).
（ A） 0 （ B） 1 （ C） （ D）
10,收敛,则 为 ( ).
（ A） （ B）
（ C） （ D）
baba dxxbafdxxf )()(
)(xf
bab
a dxxf )(
2 )( ln1 dxxx k k
1?k 1?k
1?k 1?k
本节的学习到此结束
例题
1.求分析 被积函数含自变量,不能直接用积分上限函数的求导方法,因此首先将被积函数中的 变到积分符号外面来,
解 原式典型错误,
.)]()([
2
0
2
x
dttftxdxd
x
x
])()([
22
00
2
xx
dtttfdttfxdxd
.)(22)(2)()(2
22
0
2222
0
xx
dttfxxxfxxxfxdttfx
.0))(()()]()([ 2222
0
2
2
xxfxxdttftxdxd
x
2.设,求,
分析 将被积函数中的 分离出来,为此作变量代换,
解 令,则,由定积分的换元法,得两边对 求导,得总结,……,
x
dtt xtxf
2
)s i n ()( )(xf?
x
uxt? du
xdtx
ut 1,
.s in1s in)(
22
22
x
x
x
x
du
u
udu
x
x
u
uxf
x
.2s ins in222 2s in2s in)(
2
2
2
x
x
x
x
x
xx
x
xxf
3.设 为连续函数,且 求
[分析 ] 此类方程是所谓的积分方程,解题思路是除掉积分号,要注意积分变量 与积分上限函数的自变量 的区别,
解 方程两边同时对 求导得
,则令,所以,故,
即
,1)(310 2x xdxxf)(xf ).(xf
x
x
x
xxxf 23)1( 23,
3
2)1( 3
xxf
tx 31 3 1 tx
3 13
2)(
ttf
).1(?t
3 13
2)(
xxf
).1(?x
4．已知 连续,且,
求解 方程两边同时对 求导得
…… （ 1）
由于左边 与 不能分离,令,由定积分的换元法,得则（ 1）化成
x u xdttutfdu0 0 2s i n)(
.)(20?
dxxf
)(xf
x
x xdttxtf0 2s i n)(
tx utx
0 00 )()()()()( x xx duufuxduufuxdttxtf
.)()(0 0 x x duuufduufx
…… （ 2）
（ 2）两边同时对 求导得即 …… （ 3）
令,代入 (3)式得
x x duuufduufx 0 0 )()(
x
x xxxfxxfduuf0 2c o s2)()()(
x xduuf0 2c o s2)(
2
x
.2)(20
dxxf
5．设 在 处可导,且求解,注意到,所以又 为常数,设为 A.则
0?x)(xf
,)1ln ( )(lim)()( 10
0
232?
x
xfxdxxfxxxf
x
).(xf
0)0(?f
)0(0 )0()(lim)(lim)1ln ( )(lim 000 fx fxfx xfxxf xxx
10 )( dxxf
.)0()( 232 xfAxxxf
上式两边对 求导得得,所以,而得故
.)0(232)( 2 xfAxxxf
x
0)0(f 32)( Axxxf
,4131)()( 10 3210 AdxAxxdxxfA
,94?A
.94)( 32 xxxf
6．设,求解,方程两边积分得所以故注意,是常数,
102 )()( dxxfxxxf ).(xf
10 10 10 102 )()( x d xdxxfdxxdxxf
10 )(2131 dxxf
.32)(10dxxf
.32)( 2 xxxf
10 )( dxxf
7．设 为非负连续函数,
且,求解,定积分的证明,计算应考虑作一定的变形,原方程化成,且即 为 的原函数,故令,则,又由条件得两边积分得
)0)((?xxf
x xdttfxf0 2 2s i n)()( ).(xf
x xdttfxf 0 2 2s i n)()(
),())(( 0 xfdttfxx dttf0 )()(xf
x dttfxF 0 )()( )()( xfxF
,)()()()(0 0x x dttfxfdttfxf,2s i n)()( 2 xxFxF
.4s in81212 4c o s12s in2 )( 2
2
Cxxdxxx d xxF
注意到,所以,故因为,由定积分的性质得所以而
0)0(?F 0?C
xxxF 4s i n41)(2
)0(0)( xxf,0)(?xF
.4s i n41)( xxxF
.
4s i n
4
1
2
4c o s1
4s i n
4
1
2
44c o s
4
1
1
)()(
xx
x
xx
x
xFxf
8．设 是区间 上的任一非负连续函数,
⑴ 试证明存在 使得在区间上以 为高的矩形的面积等于区间上以 为曲边的曲边梯形的面积,
⑵ 又设 在 内可导且证明⑴中的 唯一,
)(xfy? ]1,0[
)1,0(0?x ],0[ 0x
)( 0xf ]1,[ 0x
)(xfy?
)(xf )1,0(,)(2)(
x
xfxf
0x
证明,⑴ 要证明存在 使得只需证明 在内有一根,为此设,在上连续,而 在 内存在,
且,由罗尔定理,至少存在一点使得,即
)1,0(0?x
,)()( 100
0
dttfxfx x dttfxxf x 1 )()( )1,0(
dttfxxF x 1 )()( ]1,0[
1 )()()( x xxfdttfxF )1,0(
0)1()0( FF
)1,0(0?x 0)( 0 xF
.)()( 100
0
dttfxfx x
⑵
由条件 知,即所以 在 内严格单调递减,故 在内的根唯一,即⑴中的 唯一,
),()(2)()()()( xfxxfxfxfxxfxF
x
xfxf )(2)( )(2)( xfxfx,0)( xF
)(xF? )1,0( )(xF?
)1,0( 0x
9．
解 虽然积分区间是对称区间,但被积函数既非奇函数也非偶函数,
原式对于所以 原式
6
6
2
1
s in?
dxe
x
x
0
6
6
0
22
1
s i n
1
s i n
dxe xdxe x xx
,1s i n1s i n1s i n 0
6
6
0
220
6
2
dxe
xdt
e
ttxdx
e
x
xtx 令
60 60 602260 2 2 2c o s1s in1 s in1s in dxxx d xdxe xdxe x xx
.8 3122 34112)2s i n412( 60
xx
10．
解 原式
11．
解 原式
.)1(10 2
3
4 dxxx
dtttxdxx 10 2
3
2221
0
2
3
2 )1(
2
1)](1[
2
1
.3232214321c o s21s in 20 4
u d uut令
.2c o s140
dxxx
40404040 2 t a n21t a n21t a n21c o s2
x d xxxxxddxxx
.2ln4182ln218|c o s|ln218 40
x
12．设 求解,
因为 所以
.0)0(,)1ar cs i n ()( 2 fxxf,)(1
0 dxxfI
10 21010 )1a r c s i n ()1()()( dxxxfdxxfxxxfI
,)()0()1()1( 10 dxxffff
dxxxdxxI 21010 2 )1a r cs i n ()1a r cs i n (
10 2)1a r c s i n ()1( x d xxx
10210 22 a r c s in21)1()1()1a r c s in (21 u d uuxxdx 令
).12(21)12(21)
1
a r c s i n(21 10210 210
udu
u
uuu
13．计算广义积分解 为无界点,所以注意,积分不可以一个折成两个积分,而无穷限的广义积分,如果其中一个不存在,则整个积分不存在,
.])1( 1ln 1[21 22 dxxxxI
1?x
)ln 111(l im)2ln 11()11ln 1( 012 01 xxxxI x
xx
xx
x ln)1(
1lnlim)
2ln
11(
01?
.
2ln
1
2
3
11
1
lim
2ln
1
1
1
ln
1
1
lim
2ln
1
1
2
2
0101
xx
x
x
x
x
x
xx
14．求极限解 复习定积分的定义因为
).
1
s in
2
1
2s in
1
s in
(lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n?
)()()()()(lim
10
aFbFxFdxxfxf ba
n
i
b
aii
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nnn 1
s in
2
1
2
s in
1
s in
)s in
2
s in( s in
1
1
)s in2s in( s in1 nnnnn
而同理由夹逼定理得原极限为
101 s in1s inlim)s in2s in( s in1lim x d xnninnnnn ninn
2c o s1 1
0 x
)s i n2s i n( s in11l im nnnnnn
)s i n2s i n( s in11l im nnnnnn nn
2)s i n2s i n( s in1l im
n
n
nnnn
.2?
15．求极限解 因为 所以原式注意,（无穷小与有界变量的乘积为无穷小）,
.
)1l n ()c o s21(
)1c o ss i n3(
l i m
0
0
2
0?
x
x
x dttx
dt
t
tt
,1)c o s21(lim
0
x
x
)1l n (
1c o ss i n3
l i m00
)1l n (
)1c o ss i n3(
l i m
2
0
0
0
2
0 x
x
xx
dtt
dt
t
tt
xx
x
x?
型
3)03()1c o ss i n3(l i m
1c o ss i n3
l i m~)1l n (
0
2
0
x
xx xx x
xx
xx
xx
01c o sl i m0 xxx
16．设 连续,求解所以 原式注意：
)(xf?,1)0(,0)0( ff,
)(
)(
l im 1
0
3
0
2
0
2
dtxtfx
dttxf
x
x
2222 00020 2 )()())(()( xxxx dttfduufduufutxdttxf 令
xx dttfxduufxuxtdtxtf 0010 )(1)(1)( 令
)()(3
)(4lim
)()(2
)(2lim
)(
)(
lim
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
xfxxf
xfx
xxfdttf
xf
dttfx
dttf
xxxx
x
x
1
113
14
)()(3
)(4l i m 2
0
xf
x
xf
xf
x
.)0(,0)0()(l im 0 AffAx xfx
17．设 满足 令求解 从定义出发
)(xf,2)0(,0)0( ff
x
x
dtxtf
xF
)1l n (
0
)(
)(
2
1
0
0
0
0
x
x
x
).0(F?
,)0()0()0( AFFAF
1)1l n (lim
0)1l n (
lim
0
)0()(lim)0(
2
2
0
2
00
x
x
x
x
x
x
FxFF
xxx
所以不等式的证明,
2
0
0
1
0
00
)(
l im
)(
l im0 )0()(l im)0( x
duuf
uxtx
dtxtf
x
FxFF
x
xxx
令
1)0(212 )(li m 0 fxxfx
.1)0(F
18．设 在区间 上连续可导,
且,证明证明 只需证明令 注意到,所以只需证显然 在 上连续可导，而
,1)(0 xf
0)(?xf
)(xf ]1,0[
.)(])( 10 3210 dxxfdxxf
.0)(])( 10 3210 dxxfdxxf
,)(])()( 0 320 tt dxxfdxxftg 0)0(?g
.0)0()1( gg
)(tg ]1,0[
)].()(2)[()()()(2)( 2030 tfdxxftftftfdxxftg tt
设,则所以 在 上单调增加,当 时,
有所以 故 #
范,若将条件 改为,则证明是正确的,你看如何?
)()(2)( 20 tfdxxfth t
.0)](1)[(2)()(2)(2)( tftftftftfth
)(th ]1,0[ )1,0(?t
.0)0()( hth
,0)( tg,0)0()1( gg
0)(?xf 0)(?xf
19．设 在 上连续且单调增加,
证明,
证明 设 注意到只要证由条件知 在 上连续可导,且其中 所以 在 上单调增加,
故
)(xf ],[ ba
.)(2)( baba dxxfbadxxxf
,)(2)()( bata dxxftadxxxftg,0)(?ag
.0)()( agbg
)(tg ],[ ba
tata dxxftfattftadxxfttftg )(21)(2)(2)(21)()(
.0)]()([2)(2)(2 ftfatfattfat
).,( ta )(tg ],[ ba
.0)()( agbg
20．设 在 上有连续的导数,
且,证明,
证明,因为 在 上连续,所以在 上也连续,必有最大值,设只要证
0)()( bfaf
)(xf ],[ ba
.|)(|)( 4|)(|m a x 2
b
abxa dxxfabxf
)(xf? ],[ ba )(|)(| 2 xfxf
],[ ba |,)(|m a x xfM
bxa
MabMabdxxfba 2
2
)2(4 )(|)(|
b ba
ba
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
2
2 |)(||)(||)(|
b ba
ba
a
dxxfbfdxafxf
2
2 |)()(||)()(|
b ba
ba
a
dxxbfdxaxf
2
2
2
1 |))((|))((|
b ba
ba
a
dxxbMdxaxM
2
2 )()(
.4 )()(2)(2
2
2
222 MabxbMaxM b
ba
ba
a?
21.设,证明：
证明,用泰勒公式取,则,
所以因此
10,0)( ttf,)
3
1()(1 2
o fdxxf
))(()()(!2 )())(()()( 00020000 xxxfxfxxfxxxfxfxf
3
1
0?x )3
1)(
3
1()
3
1()( xffxf )10( x
)31)(31()31()( 22 xffxf )10( 2 x
).31()31()31()31()( 21010210 fdxxfdxfdxxf
二．选择与填空
1．曲线 与 轴及 所围平面面积为
( ).
（ A） （ B） （ C） （ D）
2．若,则 的驻点为 ( ),
（ A） -1 （ B） 1
（ C） -1,1,0 （ D） -1,1
xy ln? ex?x
10 ln xdx?e xdx1 ln?10 |ln| dxx?e xdx0 ln
21 )1()( x t dtetxf )(xf
3．设 连续可导,则在下列各等式中正确的是 ( ).
（ A） （ B）
（ C） （ D）
4．设 在 上连续,且,
设,则 ( ).
（ A） 0 （ B） 2 （ C） -2 （ D） 1
)(xf
)()( xfdxxf )()( xfdxxfxa
)()( xfdxxfdxd xa )()( xfdxxfdxd ba
),()(xf 2)0(?f
2s i n )()( x x dttfxF )0(F
5．已知,则 ( ).
（ A） （ B）
（ C） （ D）
6,( ).
（ A） （ B）
（ C） （ D）
)()( xfxFx
a dtatf )(
)()( aFxF? )()( aFtF?
)2()( aFaxF )()( aFaxF
xa dttf )2(
)]()([2 afxf?
)]2()2([2 afxf?
)2()2( afxf?
)]2()2([21 afxf?
7．设 为连续函数,且,则有（ ）成立,
（ A） （ B）
（ C） （ D）
8．设,则 ( ).
（ A） 8 （ B） 16 （ C） 4 （ D） 2
CxFdxxf )()()(xf
)()( xFdttfxa
)(])([ xfdttFxa
CxFdttFxa )())((
)(])([ xfdttFax
2)(
2x
dttFxo16
0 )(
1 dxxf
x
9．设 为连续函数,则
( ).
（ A） 0 （ B） 1 （ C） （ D）
10,收敛,则 为 ( ).
（ A） （ B）
（ C） （ D）
baba dxxbafdxxf )()(
)(xf
bab
a dxxf )(
2 )( ln1 dxxx k k
1?k 1?k
1?k 1?k
本节的学习到此结束
