第四章
第一节 不定积分的概念与性质
第二节 换元积分法
第三节 分部积分法
第四节 几种特殊类型函数的积分
不定积分 -复习题第一节 不定积分的概念与性质
一．原函数与不定积分的概念
1.原函数的概念引例 设,求解,因为,所以此时称 为 的一个原函数
xxf c o s)( ).(xf
xx c o s)( s i n,s i n)( cxxf
xsin xcos
定义 如果在区间 上,可导函数 的导函数为,即,有则称 为 (或 在区间 上的一个原函数,
如 是 的原函数 ; 是的原函数,
什么样的函数具有原函数呢?有
)(xF
Ix
I
)(xf
)()( xfxF ))()(( dxxfxdF?或
))( dxxf)(xF )(xf I
xarctan
21
1
x? 21
1
x?
)1l n ( 2xx
定理 (原函数存在定理 ) 连续函数必有原函数,即如果函数 在区间 上连续,则在区间上存在可导函数,使得对,
有即 为 在区间 上的一个原函数,
其证明见,
)(xf I
)(xF Ix
).()( xfxF
I
)(xF )(xf I
289P
注意 (1)由原函数的定义可知,如果为 在区间 上的原函数,则 也是的原函数,即 若有原函数,则 有无限多个原函数,
(2)设 和 都是 在区间 上的原函数,则,事实上所以,即
)(xf
)(xF
)(xf I CxF?)( )(xf
)(xf
)(x?)(xF )(xf I
CxxF )()(
0)()()()(])()([ xfxfxxFxxF
CxxF )()(,)()( CxxF
2.不定积分的概念定义 在区间 上,的原函数的全体,
称为 (或 在区间 上的不定积分,记作其中,‘ ’ —— 积分符号 ; —— 被积函数 ;
— 被积表达式 ; —— 积分变量,
显然,如果 是 的一个原函数,则
I )(xf
)(xf ))( dxxf I
.)(? dxxf
dxxf )(
)(xf
x
x
)(xF )(xf
.)()( CxFdxxf
因此,求 的不定积分归结于求 的一个原函数,
如 是 的一个原函数,
所以又如 是 的一个原函数,则
)(xf)(xf
)(xF
xarctan
21
1
x?
.a r c t a n1 1 2 Cxdxx
21
1
x?
)1l n ( 2xx
.)1l n (1 1 22 Cxxdxx
例 1 求解 当 时,,所以当 时,,
所以综上,有
.1? dxx
),0(x
xx
1)(ln,ln1 Cxdxx
)0,(x
xx
1])[l n (
..)l n (1 Cxdxx
.ln1 Cxdxx
例 2 设 求,
解 故,
因为所以 是 的一个原函数,故即
,2c o s)( s i n xxf )(xf
,co s21)( s i n 2 xxf 221)( ttf
,21)32( 23 ttt
3
3
2 tt? 221 t?
.32)21( 32 Cttdtt
.32)( 3 Cxxxf
例 3 设曲线过点,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程,
解 设曲线方程为,则所以,又,所以,
从而,故所求曲线方程为,
)2,1(
)( xfy?,2 x
dx
dy?
Cxy 2 2| 1xy C 12
1?C 12 xy
3.不定积分与微分的关系
(1) 或 ;
(2) 或,
即先积后微,形式不变 ;先微后积,添个常数,
dxxfdxxfd )()( )(])([ xfdxxf
CxFxdF )()( CxFdxxF )()(
二,基本积分表
1,( 是常数 );
2,( ).
3,4,
5,6,
Ckxkd x k
Cxdxx 111 1;ln1 Cxdxx ;a r c t a n
1
1
2 Cxdxx;a r c s i n
1
1
2?
Cxdx
x;s i nc o s Cxx d x
7,8.
9.
10.
11.
12,13.;c o ss i n Cxx d x Cxx d xdx
x t a ns e cc o s
1 2
2;c o tc s cs i n 1 22 Cxx d xdxx;s e ct a ns e c Cxx d xx;c s cc o tc s c Cxx d xx; Cedxe xx ;
ln Ca
adxa xx
14,
15,
例 4; Cc h xs h x d x
. Cs h xc h x d x
.72 2
7
2
5
2 Cxdxxdxxx
三,不定积分的性质性质 1
性质 2 ( 是常数 ),
.)()()]()([ dxxgdxxfdxxgxf
dxxfkdxxkf )()( k
例 5 求解 原式例 6
.)1( 2
3
dxxx
dxxdxxdxx d xdxxxx 22 1133)133(
.1ln332
2
Cxxxx
.12ln 2)2l n ( )2()2(2 CeCeedxedxe
xxx
xxx
例 7
例 8
例 9
dxxxdxxx xxdxxx xx )1 11()1( )1()1(1 22
2
2
2
.a r c ta nln1 11 2 Cxxdxxdxx
dxxxdxxxdxxx )1 11(1 1)1(1 222424
Cxxx a r c t a n31 3
.t a n)1( s e ct a n 22 Cxxdxxx d x
例 10
例 11
例 12
.)s i n(21)c o s1(212c o s12s i n 2 Cxxdxxdxxdxx
.c o t4c s c4
s i n
14
2
c o s
2
s i n
1 2
2
22
Cxx d xdxxdxxx
dxxxdxxx xxdxxx )s e c( c s cs inc o s s inc o ss inc o s 1 2222 2222
.c o tta n Cxx
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一．原函数与不定积分的概念
1.原函数的概念引例 设,求解,因为,所以此时称 为 的一个原函数
xxf c o s)( ).(xf
xx c o s)( s i n,s i n)( cxxf
xsin xcos
定义 如果在区间 上,可导函数 的导函数为,即,有则称 为 (或 在区间 上的一个原函数,
如 是 的原函数 ; 是的原函数,
什么样的函数具有原函数呢?有
)(xF
Ix
I
)(xf
)()( xfxF ))()(( dxxfxdF?或
))( dxxf)(xF )(xf I
xarctan
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)1l n ( 2xx
定理 (原函数存在定理 ) 连续函数必有原函数,即如果函数 在区间 上连续,则在区间上存在可导函数,使得对,
有即 为 在区间 上的一个原函数,
其证明见,
)(xf I
)(xF Ix
).()( xfxF
I
)(xF )(xf I
289P
注意 (1)由原函数的定义可知,如果为 在区间 上的原函数,则 也是的原函数,即 若有原函数,则 有无限多个原函数,
(2)设 和 都是 在区间 上的原函数,则,事实上所以,即
)(xf
)(xF
)(xf I CxF?)( )(xf
)(xf
)(x?)(xF )(xf I
CxxF )()(
0)()()()(])()([ xfxfxxFxxF
CxxF )()(,)()( CxxF
2.不定积分的概念定义 在区间 上,的原函数的全体,
称为 (或 在区间 上的不定积分,记作其中,‘ ’ —— 积分符号 ; —— 被积函数 ;
— 被积表达式 ; —— 积分变量,
显然,如果 是 的一个原函数,则
I )(xf
)(xf ))( dxxf I
.)(? dxxf
dxxf )(
)(xf
x
x
)(xF )(xf
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因此,求 的不定积分归结于求 的一个原函数,
如 是 的一个原函数,
所以又如 是 的一个原函数,则
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1
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例 1 求解 当 时,,所以当 时,,
所以综上,有
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xx
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例 2 设 求,
解 故,
因为所以 是 的一个原函数,故即
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例 3 设曲线过点,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程,
解 设曲线方程为,则所以,又,所以,
从而,故所求曲线方程为,
)2,1(
)( xfy?,2 x
dx
dy?
Cxy 2 2| 1xy C 12
1?C 12 xy
3.不定积分与微分的关系
(1) 或 ;
(2) 或,
即先积后微,形式不变 ;先微后积,添个常数,
dxxfdxxfd )()( )(])([ xfdxxf
CxFxdF )()( CxFdxxF )()(
二,基本积分表
1,( 是常数 );
2,( ).
3,4,
5,6,
Ckxkd x k
Cxdxx 111 1;ln1 Cxdxx ;a r c t a n
1
1
2 Cxdxx;a r c s i n
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x;s i nc o s Cxx d x
7,8.
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10.
11.
12,13.;c o ss i n Cxx d x Cxx d xdx
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2;c o tc s cs i n 1 22 Cxx d xdxx;s e ct a ns e c Cxx d xx;c s cc o tc s c Cxx d xx; Cedxe xx ;
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14,
15,
例 4; Cc h xs h x d x
. Cs h xc h x d x
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2 Cxdxxdxxx
三,不定积分的性质性质 1
性质 2 ( 是常数 ),
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例 5 求解 原式例 6
.)1( 2
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