第八节 函数的作图
由第四节、第五节、第七节的讨论可得函数的作图步骤为,
(1)求函数 的定义域 ;
(2)求,并求 及不存在的点 ;
(3)将 (2)中的点插入 (1),列表讨论函数的单调性,极值,凹凸性,拐点 ;
)(xfy?
x
)31,(31? )31,31?31 )1,
),1(y?
2732
,
)2716,31(,
,
)(xfy?
)(),( xfxf 0)(,0)( xfxf )(),( xfxf
)(xfy?
(4)求 的水平与铅直渐进线 (如果存在 ):
水平渐进线左水平渐进线右水平渐进线铅直渐进线 或或
(5)将 (3)中特殊的点描出来,将 (4)中的渐进线画出来,
为了使图形精确,可适当添加一些点 (如与坐标轴的交点 ).
(6)由 (3)中函数的性质,作图,
注意 (5)和 (6)一般同时进行,
)( xfy?
AxfAy x )(lim:
AxfAy x )(l i m:
AxfAy x )(l i m:
)(li m:
00
xfxx xx
)(lim
0
xfxx )(lim
0
xfxx
例 1 作函数的图形,
解 1.函数的定义域,
2.,令 得驻点为无不可导点,
令 得,无二阶不可导点,
).,(
123 2 xxy 0y,1,
3
1
21 xx
,26 xy
3
1
3?x0?
y
3.列表讨论,
4.无水平渐进线,无铅直渐进线,
5.作图,
补充,
1
+ 0 - - - 0 +
- - - 0 + + +
极大值拐点 极小值 0
)31,(
y?
y?
x
y,
31? )31,31(?
,)
2716,31(27
32
31
,,
),1()1,
31(
.1|,3|,0| 021 xxx yyy
例 2 作函数 的图形,
解 (1)定义域,
(2)
令 得驻点,无一阶不可导点 ;令得,无二阶不可导点,
2)3(
361
x
xy
);,3()3,(
.)3( )6(72,)3( )3(36 42 x xyx xy
0y 3?x
6?x
0y
(3)列表讨论,
(4),所以水平渐进线因为,所以铅直渐进线
(5)作图,
补充,
y?
3 6
- + 0 - - -
- - - - 0 +
极大值 拐点
),6(
y?
x )3,( )3,3(? )6,3(
y,,4| 3xy,,
1lim yx ;1?y
yx 3lim,3x
.411|,8|,8|,1| 15910 xxxx yyyy
本节的学习到此结束