第三节 Taylor公式由于微分作为近似计算的局限性,引进
Taylor公式
Taylor中值定理 如果 在 内有直到阶导数,则当 时,可表示为的一个 次多项式与一个余项 之和,即其中在 与 之间,
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证明 (分析,由于,故只须证明注意到,有 阶导数,且从而用 次 Cauchy中值定理可得结论,)
令,显然 在以 为端点的区间上满足 Cauchy中值定理的条件,由
Cauchy中值定理,存在 (在 与 之间 ),使得
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即，
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即
…………………………………………
经过 次,有 ( 在 与 之间 ),
又所以
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注意
(1) 次多项式称为 按 的幂展开的 次 Taylor多项式,而 称为 按 的幂展开的 阶 Taylor公式,称为 Lagrange型余项,
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(2)当 时,
故所以 —— 皮亚若余项,
故 Taylor公式又可写为
(在不需要 的精确表达式时,该表达式很有用,见后面的例子 ).
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(3)如果取,此时则 Taylor公式变成或上两式称为 Maclaurin公式 (即 在 处的
Taylor公式 ),
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例 1 求 的 阶 Maclaurin公式,
解,
所以故 的 阶 Maclaurin公式为
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本节的学习到此结束
Taylor公式
Taylor中值定理 如果 在 内有直到阶导数,则当 时,可表示为的一个 次多项式与一个余项 之和,即其中在 与 之间,
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例 1 求 的 阶 Maclaurin公式,
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本节的学习到此结束
