第四节 高阶导数
一阶导数,
二阶导数,
三阶导数,
四阶导数,
…………………………………….
阶导数,
.)( dxdyxfy
)()( 2
2
dx
dy
dx
d
dx
ydxfy
)()( 2
2
3
3
dx
yd
dx
d
dx
ydxfy
)()( 44)4()4( ydx ydxfy
n )()( )1()()(n
n
n
nn y
dx
ydxfy
一,二阶导数例 1 设 求解例 2 证明函数 满足关系式证明所以例 3 设 二阶可导,求解
,21 20 attvs,22dtsd
.,0 asatvs
22 xxy,013yy
,
2
1
2xx
xy
,1
3yy
.013yy
fefy x ),(?,
2
2
dx
yd
xxxxxxx eefeefeyefey )()(),(
).()( 2 xxxx efeefe
例 4 设,求解
,所以
0s in21 yyx,2
2
dx
yd
0c o s211 yyy,c o s2
2
yy
)c o s2 2()( ydxdyy
.)c o s2( s in4 3yy
二,高阶导数例 5 设 求解
,axey?
,) (n y
.,,,)(2 axnnaxax eayeayaey
例 6 设,求解同理一般地,有如求 的 阶导数,由于则
xy sin?
,) (n y
).2s i n ()( s in )()( nxxy nn
).2c o s ()( c o s )( nxx n
).2s i n ()][ s i n ( )( nxabax nn
).2c o s ()][ c o s ( )( nxabax nn
xy 2co s? n,2c o s
2
1
2
1c o s 2 xxy
).22c o s (2)2( c o s21)( c o s 1)()(2?nxxx nnn
例 7 设,求解如求 的 阶导数例 8 设,
求解
)1ln ( xy
,) (n y
n
nn
x
ny
)1(
)!1()1( 1)(

x
xy
21
2

n
,) (n y
0111)( axaxaxaxf nnnn
).(),(),( )()( nkxfxf kn?
).(,0)(,!)( )()( nkxfanxf knn
三,求乘积函数的高阶导数的 Leibniz公式即例 9 设,求解
)()1(1)1(1)(0)()( nnnnnnnnnnn uvCvuCvuCvuCuv
,)(
0
)()()(?
n
k
kknk
n
n vuCuv ).,( )0()0( vvuu
xexy 22?
,) (n y
).9520(2 2220)( xxey xn
本节的学习到此结束