第二节 导数的四则运算设 在点 处有导数则法则一,两个可导函数之和 (差 )的导数等于这两个函数的导数之和 (差 ),即
)(),(),( xwwxvvxuu x
),(),(),( xwwxvvxuu;)( vuvu
.)( wvuwvu
证明：
设,则所以
)()()( xvxuxf
x
xfxxfxf
x?
)()(l i m)(
0
x
xvxuxxvxxu
x?
)]()([)]()([l im
0
])()()()([lim
0 x
xvxxv
x
xuxxu
x?
.li mli m 00 vuxvxu xx
.)( vuvu
例 1 求 的导数,
解,
例 2 设求 及解,
(注意,),所以注意,
53 xy
)5()()5( 33 xxy
.303 22 xx
,2s i nc o s4)( 3 xxxf
)(xf? ).
2(
f?
xxxx s i n430s i n43 22)(xf?
0)2(s in,443 2)(xf?
.0])2([)2(,|)(
2
ffxf x
)2(?f?
法则 2:两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积,
即
推论 1,
推论 2:法则 2可推广到有限个函数乘积的导数计算,如
.)( vuvuuv
.)( uccu
.)( wuvwvuvwuu v w
例 3 求 的导数,
解,
例 4 设 求解,
)23)(21( 23 xxxy
)23)(21()23()21( 2323 xxxxxxy
)49)(21()23(2 223 xxxxx
.4324 23 xxx
),co s( s i n xxey x,y?
)co s( s i n)co s( s i n)( xxexxey xx
)s i n( co s)c o s( s i n xxexxe xx
.c o s2 xe x?
例 5 设 为连续函数,求解,
错误解法,
所以错误的原因是,不一定可导,
)(),()()( xxaxxf ).(af?
h
hah
h
afhaf
hh
)(lim)()(lim
00
)(af?
).()(lim 0 ahah
])()[()(])[()( xaxxaxxf
),()()( xaxx
).(a)(af?
)(x?
法则 3:两个可导函数之商的导数,等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积,再除以分母的平方,即例 5 设 求解,
.)( 2v vuvuvu )0(?v
,112
2
x
xy,y?
22
2222
)1(
)1)(1()1)(1(
x
xxxxy
.)1( 4)1( 2)1()1(2 2222
22
x
x
x
xxxx
例 6 设 求解,
,ln nx xy?,y?
n
nn
x
xxxxy
2
)(ln)( ln
n
nn
x
nxxx
x
2
1 )(ln1
).ln1(1 1 xnx n
例 7 设 求解,
同理可得,
同理可得,
,ta n xy?,y?
xxxxy 2s e c)c o ss i n()( t a n
.s ec)( t an 2 xx
.c s cs in 1)( c o t 22 xxx
.c o tc s c)( c s c xxx
本节的学习到此结束
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例 1 求 的导数,
解,
例 2 设求 及解,
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法则 2:两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积,
即
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例 4 设 求解,
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所以错误的原因是,不一定可导,
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法则 3:两个可导函数之商的导数,等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积,再除以分母的平方,即例 5 设 求解,
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例 7 设 求解,
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