第四节 函数极限主要讨论,在自变量的某一变化过程中,函数是否与一常数无限接近,即
⑴
⑵;)(lim
0
Axfxx
.)(lim Axfx
一,即自变量 无限接近 时，
无限接近于
⒈定义定义：设 在 内有定义,
当 时,有 成立,则 称为当 时的极限,记作或
,)(lim
0
Axfxx x 0x )(xf
.A
)( 00 xU)(xf,0,0
),( 00?xUx Axf )( A )(xf
0xx?
Axfxx )(lim
0
,)( Axf?,0xx?
注,⑴ 由极限的定义知,当 时 是否有极限与 在 处是否有定义无关,
⑵ 反映了 与 的接近程度,由于可以任意小,故 与 可无限接近,
⑶ 反映了自变量 与 的接近程度,
)(xf 0xx?
)(xf 0x
)(xf A 0
)(xf A
0)( x 0x
⑷ 给定 问题是是否存在如果 存在,则当 时 以 为极限 ;否则,
的极限不存在,因此,只要确定一个 而不必找出最大的 一般地,如果 越小,则也越小,
⑸ 的求法是由不等式 解出
(不是解 )取 即可,同数列极限,如果 解 较困难,可将适当放大,即 再解出
,0,0)(
0xx? )(xf A
)(xf
.?
,?
Axf )(
)(0?gxx x )( g?
Axf )( 0xx? Axf?)(
)()( 0xxhAxf,0xx?
⑹ 几何意义,当 即时,有
⑺ 显然有
,0 0 xx ),( 0
0?xUx?
.)()( AxfAAxf
.l im,l im 0
00
xxcc xxxx
例 1:证明证明,在 处无意义,但极限存在,
要使取 当 时,有即
.211lim 21 xxx
1
1)( 2
x
xxf 1?x
0
12)1(211)(
2
xxxxAxf
, 10 x
.211
2
xx
.211lim
2
1
x
x
x
例 2,证明证明,要使
(解出 几乎不可能 )
将 适当放大,怎么放呢?因为时,不防设 即 从而解得 取则当 时,有即
.04lim 4 xxx
,0 xxxxAxf 404)(
4?x
x
xAxf 4)( 4?x
,140 x,4,53 xx
3 44)( xxxAxf,34x },3,1m in {
40 x,04)(
x
xAxf
.04lim 4 xxx
2.性质定理 (局部保号性 ) 如果 且则存在 当 时,有证明,设 取 则 当时,有注,如果取 则 当 时,有
,)(lim
0
Axfxx ),0(0 AA 或
),( 00?xUx?),( 00 xU ).0)((0)( xfxf 或
,0?A,2A,0 00 xx
0)(23)(22)( xfAxfAAAxf?
,2A ),( 00 xU? )( 00 xUx?
.2)( Axf?
定理 设 时,且则不一定有注,如果 时 且则不一定有如 在 的邻域内有但
)( 00 xUx?,或 )0)((0)( xfxf
,)(lim
0
Axfxx ).0(0 AA 或
)( 00 xUx?,或 )0)((0)( xfxf,)(lim
0
Axfxx
).0(0 AA 或
xxf?)( 00?x,0?x
.0lim 0 Axx
3.左、右极限,
⑴左极限,
当 时,有 成立,
⑵右极限,
当 时，有 成立,
⑶ 左、右极限与函数极限的关系,
注,如果 在 处的左、右极限至少有一个不存在或都存在但不相等,则 不存在,该结论经常用来讨论分段函数在分段点的极限是否存在,
.)(lim
00
Axfxx?
,)(lim
00
Axfxx?
))0(()(l im 0
00
AxfAxfxx 或
00 xx Axf )(
))0(()(l im 0
00
AxfAxfxx 或
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,0,0
00 xx Axf )(
Axfxx )(lim
0
)(lim
00
xfxx,)(lim
00
Axfxx?
)(xf 0x
)(lim
0
xfxx?
例,求符号函数 当 时的极限解,
为 的分段点,
因为 所以 不存在,
xxf sgn)(? 0?x
.sgnlim0 xx?
.0,1
,0,0
,0,1
s g n)(
x
x
x
xxf 0?x xxf sgn)(?
.1)1(lims g nlim)0(,11lims g nlim)0( 0000 xxxx xfxf
),0()0( ff x
x sgnlim0?
二、
包括 和定义,⑴设 当 时有定义,
当 时,有 成立,则 称为 当的极限,记为 或
⑵设 当 时有定义,
当 时,有 成立,则 称为 当时的极限,记为 或
.)(lim Axfx
xx,x
Mx?)(xf,0,0 X?
Axf )(Mx? A )(xf
x Axf
x )(lim
).(,)( xAxf
)(xf Mx?,0,0 X?
Xx Axf )( A )(xf
x Axf
x )(lim
).(,)( xAxf
⑶设 当 时有定义,
当 时,有 成立,则 称为 当时的极限,记为 或注,⑴ 的几何意义,
⑵
⑶ 则 为曲线 的水平渐进线,
Mx
x Axf
x )(lim
)(,)( xAxf
)(xf,0,0 X?
Mx Axf )( A )(xf
Axfx )(lim
.)(lim)(lim Axfxf xxAxfx )(lim
,)(lim Axfx
Ay? )(xfy?
例 1,证明证明,要使则 取 则当 时,有即
.0sinlim x xx
,0
xx
x
x
xAxf 1s in0s in)(
.1x,1X Xx?
.0s inx x
.0s inlim x xx
例 2,求解,所以不存在,
同理,
所以不存在,
记住,均不存在,
.arctanlim xx
,2a r c t a nlim,2a r c t a nlim xx xx
xx arctanlim
,c o tlim,0c o tlim xa r cxa r c xx
xarcx co tlim
xx xx c o sl i m,s i nl i m
本节的学习到此结束
⑴
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0
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一,即自变量 无限接近 时，
无限接近于
⒈定义定义：设 在 内有定义,
当 时,有 成立,则 称为当 时的极限,记作或
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注,⑴ 由极限的定义知,当 时 是否有极限与 在 处是否有定义无关,
⑵ 反映了 与 的接近程度,由于可以任意小,故 与 可无限接近,
⑶ 反映了自变量 与 的接近程度,
)(xf 0xx?
)(xf 0x
)(xf A 0
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0)( x 0x
⑷ 给定 问题是是否存在如果 存在,则当 时 以 为极限 ;否则,
的极限不存在,因此,只要确定一个 而不必找出最大的 一般地,如果 越小,则也越小,
⑸ 的求法是由不等式 解出
(不是解 )取 即可,同数列极限,如果 解 较困难,可将适当放大,即 再解出
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⑹ 几何意义,当 即时,有
⑺ 显然有
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例 1:证明证明,在 处无意义,但极限存在,
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将 适当放大,怎么放呢?因为时,不防设 即 从而解得 取则当 时,有即
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2.性质定理 (局部保号性 ) 如果 且则存在 当 时,有证明,设 取 则 当时,有注,如果取 则 当 时,有
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3.左、右极限,
⑴左极限,
当 时,有 成立,
⑵右极限,
当 时，有 成立,
⑶ 左、右极限与函数极限的关系,
注,如果 在 处的左、右极限至少有一个不存在或都存在但不相等,则 不存在,该结论经常用来讨论分段函数在分段点的极限是否存在,
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二、
包括 和定义,⑴设 当 时有定义,
当 时,有 成立,则 称为 当的极限,记为 或
⑵设 当 时有定义,
当 时,有 成立,则 称为 当时的极限,记为 或
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⑶设 当 时有定义,
当 时,有 成立,则 称为 当时的极限,记为 或注,⑴ 的几何意义,
⑵
⑶ 则 为曲线 的水平渐进线,
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例 2,求解,所以不存在,
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