第三节 数列极限
一,数列
1.数列,无限多个数有次序地排成一列称为数列,记为,数列中的每一个数称为数列的项,第 项 称为数列的一般项,数列 也可看作自然数 的函数,
在几何上,数列 也可看作数轴 上的一系列点,
,,,,21 nxxx
}{ nx
n
nx
.),( Nnnfx n
x
}{ nx n
}{ nx
2.子数列设数列,在 中第一次抽取,第二次抽取 第 次抽取 得新数列称为数列 的子 (数 )列
}{ nx }{ nx
1nx
,),(,122?nnx n,
knx
k
,,,,21 knnn xxx
}{ nx }.{ knx
二,数列的极限,
1.引例,刘徽的割圆术,
2.数列极限的定义设数列,观察当 无限增大时,数列项的变化趋势,具体写出来是,
当 无限增大 (即要多大就有多大 )时,一般项 无限接近
(要多近就有多近 )于常数,此时称数列 的极限为零,或数列 收敛于零,由此有定义 (描述性定义 )
当 无限增大时,数列 与常数 A无限接近,称数 A为数列 的极限,或称数列 收敛于 A.记作,
或
A.xlim nn
nxn
1? n
,1,,51,41,31,21,1 n
n
n
1
0?A }1{
n
n }{ nx
}{ nx }{ nx Axnnlim
).(, nAx n
}1{n
下面我们对数列 来具体分析,
要使 与 的距离小于,即则,取,当 时,,即从第 11
项开始,所有项与 的距离小于取,要使,则,
取,则当 时,,即从第 101项开始,所有项与 的距离小于
…………………………………………
n
1 0?A 101
.1011011nnAn
}1{n
101n 10?N 10?n 10101n
0A?,
10
1
100
1
100
11011
nnAn
100?n100?N
100 Nn
1 0 0
101
n
0A?,
100
1
,要使 取 则当时,.即从 项开始,所有项与 的距离小于用精确的数学语言,有定义：给定数列 和常数 A：
当 时,有 成立,则称常数 A为数列 的极限,或称数列 收敛于常数 A，
记为如果数列没有极限,则称数列是发散的 。
0,11
nAn
],1[N
]1[ Nn 01n 1?N
0?A,?
}{ nx,0)(,0 NN
Nn Ax
n
}{ nx }{ nx
).(,.lim nAxAx nnn 或
注意：
⑴ 反映了数列 中的项 与常数 A
的接近程度。由于 可以任意小，此时反映了 与常数 A的无限接近
(要多近就有多近 ),不是越来越近 。
⑵ 反映了数列 中与常数 A接近的项的范围,即从 项 开始,所有项与 A的距离小于 因此 N是 的函数 。
一般地,越小,则 N越大
}{ nx nx
Ax n nx
)(?NN? }{ nx
1?N 1?Nx
.
(3) 主要是对于给定的,能够找到一个 使得 与 的距离小于 而前 项 是否与 的距离小于 没有任何影响 。
(4) 是否存在才是关键,不必找最小的
(5) 的几何意义：
由定义：,当 时,有即 全部落在 的 邻域内,
Ax nnlim?
,N,,,,21 nNN xxx A
,? N Nxxx,,,21? A
N
.N
Ax nnlim
0)(,0 NN Nn?
Axn ),(),( AUAAx n
,,,,21 nNN xxx A?
例 1:证明分析,由注⑶的思路,从不等式解出 从而确定证明,要使则 取 则当 时,有所以
.1)1(lim
1
n
n n
n
0 Axn
,n,N
,0
nn
nAx n
n
11)1( 1
.1n ],1[N Nn Ax n
.1)1(lim 1 nn nn
有时,由 解出 是非常麻烦,由注
⑷可知,此时可将不等式 适当放大
(不能太大 ),即由 解出 从而确定 则当 时,有故注,这里适当放大的意思是放大后 还可小于
Axn n
Axn
).()( ngnfAx n
)(ng,n
N
,N Nn?
)()( ngnfAx n
.lim Ax nn
)()( ngnfAx n
)(ng,?
例 2:证明证明,要使此时直接解出 很难,将 适当放大所以 取 即可,或如下放大则 取 即可,
.1li m
22
n
an
n
,0
n
nan
n
anAx
n
2222
1
n Axn?
na
nann
aAx
n
2
22
2
)(
,
2
an? ][ 2
aN?
nan nanAx n
.||?an? ]
||[
aN?
三,收敛数列的性质定理 1(极限唯一性定理 ) 如果数列,则其极限必唯一,
证明,设 取由 则 当 时,有由 则 当 时,有取 则当 时,有解得,矛盾,
}{ nx
,lim Ax nn,lim Bx nn,BA? 2
AB
Ax nnlim,01N 1Nn?,2
ABAx
n
Bx nnlim,02N 2Nn?,2
ABBx
n
},,m ax { 21 NNN? Nn?
.
2
,
2
AB
Bx
AB
Ax
n
n
.
2
,
2
AB
x
AB
x
n
n
定理 2 收敛数列必有界,但有界数列不一定收敛,
证明,设 则给定 当 时,有则取 则对任意的 有即数列 必有界,
反之,数列 是有界的 (因为
),但 不存在 (为什么?见下面的解释 ).
,lim Ax nn,0,0N? Nn?
0 Ax n,)( 0 AAAxAAxx nnn
},,,,,ma x { 021 AxxxM N? n
.Mxn? }{ nx
})1{( 1 n
1)1( 1 Mn 1)1(lim nn
定理 3(数列与子数列关于收敛的关系 )
如果 则其任一子数列 必收敛,
且注,(1)逆否命题,如果数列 的某一子数列发散或某两个 (或两个以上 )子数列收敛,但极限不同,则数列 必收敛,
,lim Ax nn }{ knx
.lim Ax knk
}{ nx
}{ nx
例 3,证明数列 是发散的,
证明,取两个子列,
奇子列,显然 又偶子列,显然因为 所以不存在,
注,⑵ 如果数列 的奇子列与偶子列均收敛于同一极限,则数列 必收敛,
})1{( 1 n
},)1{( 12 k,1)1(lim 12
k
k
},)1{( 2k?,1)1(lim 2
k
k
1)1(lim 12 kk,1)1(lim 2 kk 1)1(lim nn
}{ nx
}{ nx
本节的学习到此结束
一,数列
1.数列,无限多个数有次序地排成一列称为数列,记为,数列中的每一个数称为数列的项,第 项 称为数列的一般项,数列 也可看作自然数 的函数,
在几何上,数列 也可看作数轴 上的一系列点,
,,,,21 nxxx
}{ nx
n
nx
.),( Nnnfx n
x
}{ nx n
}{ nx
2.子数列设数列,在 中第一次抽取,第二次抽取 第 次抽取 得新数列称为数列 的子 (数 )列
}{ nx }{ nx
1nx
,),(,122?nnx n,
knx
k
,,,,21 knnn xxx
}{ nx }.{ knx
二,数列的极限,
1.引例,刘徽的割圆术,
2.数列极限的定义设数列,观察当 无限增大时,数列项的变化趋势,具体写出来是,
当 无限增大 (即要多大就有多大 )时,一般项 无限接近
(要多近就有多近 )于常数,此时称数列 的极限为零,或数列 收敛于零,由此有定义 (描述性定义 )
当 无限增大时,数列 与常数 A无限接近,称数 A为数列 的极限,或称数列 收敛于 A.记作,
或
A.xlim nn
nxn
1? n
,1,,51,41,31,21,1 n
n
n
1
0?A }1{
n
n }{ nx
}{ nx }{ nx Axnnlim
).(, nAx n
}1{n
下面我们对数列 来具体分析,
要使 与 的距离小于,即则,取,当 时,,即从第 11
项开始,所有项与 的距离小于取,要使,则,
取,则当 时,,即从第 101项开始,所有项与 的距离小于
…………………………………………
n
1 0?A 101
.1011011nnAn
}1{n
101n 10?N 10?n 10101n
0A?,
10
1
100
1
100
11011
nnAn
100?n100?N
100 Nn
1 0 0
101
n
0A?,
100
1
,要使 取 则当时,.即从 项开始,所有项与 的距离小于用精确的数学语言,有定义：给定数列 和常数 A：
当 时,有 成立,则称常数 A为数列 的极限,或称数列 收敛于常数 A，
记为如果数列没有极限,则称数列是发散的 。
0,11
nAn
],1[N
]1[ Nn 01n 1?N
0?A,?
}{ nx,0)(,0 NN
Nn Ax
n
}{ nx }{ nx
).(,.lim nAxAx nnn 或
注意：
⑴ 反映了数列 中的项 与常数 A
的接近程度。由于 可以任意小，此时反映了 与常数 A的无限接近
(要多近就有多近 ),不是越来越近 。
⑵ 反映了数列 中与常数 A接近的项的范围,即从 项 开始,所有项与 A的距离小于 因此 N是 的函数 。
一般地,越小,则 N越大
}{ nx nx
Ax n nx
)(?NN? }{ nx
1?N 1?Nx
.
(3) 主要是对于给定的,能够找到一个 使得 与 的距离小于 而前 项 是否与 的距离小于 没有任何影响 。
(4) 是否存在才是关键,不必找最小的
(5) 的几何意义：
由定义：,当 时,有即 全部落在 的 邻域内,
Ax nnlim?
,N,,,,21 nNN xxx A
,? N Nxxx,,,21? A
N
.N
Ax nnlim
0)(,0 NN Nn?
Axn ),(),( AUAAx n
,,,,21 nNN xxx A?
例 1:证明分析,由注⑶的思路,从不等式解出 从而确定证明,要使则 取 则当 时,有所以
.1)1(lim
1
n
n n
n
0 Axn
,n,N
,0
nn
nAx n
n
11)1( 1
.1n ],1[N Nn Ax n
.1)1(lim 1 nn nn
有时,由 解出 是非常麻烦,由注
⑷可知,此时可将不等式 适当放大
(不能太大 ),即由 解出 从而确定 则当 时,有故注,这里适当放大的意思是放大后 还可小于
Axn n
Axn
).()( ngnfAx n
)(ng,n
N
,N Nn?
)()( ngnfAx n
.lim Ax nn
)()( ngnfAx n
)(ng,?
例 2:证明证明,要使此时直接解出 很难,将 适当放大所以 取 即可,或如下放大则 取 即可,
.1li m
22
n
an
n
,0
n
nan
n
anAx
n
2222
1
n Axn?
na
nann
aAx
n
2
22
2
)(
,
2
an? ][ 2
aN?
nan nanAx n
.||?an? ]
||[
aN?
三,收敛数列的性质定理 1(极限唯一性定理 ) 如果数列,则其极限必唯一,
证明,设 取由 则 当 时,有由 则 当 时,有取 则当 时,有解得,矛盾,
}{ nx
,lim Ax nn,lim Bx nn,BA? 2
AB
Ax nnlim,01N 1Nn?,2
ABAx
n
Bx nnlim,02N 2Nn?,2
ABBx
n
},,m ax { 21 NNN? Nn?
.
2
,
2
AB
Bx
AB
Ax
n
n
.
2
,
2
AB
x
AB
x
n
n
定理 2 收敛数列必有界,但有界数列不一定收敛,
证明,设 则给定 当 时,有则取 则对任意的 有即数列 必有界,
反之,数列 是有界的 (因为
),但 不存在 (为什么?见下面的解释 ).
,lim Ax nn,0,0N? Nn?
0 Ax n,)( 0 AAAxAAxx nnn
},,,,,ma x { 021 AxxxM N? n
.Mxn? }{ nx
})1{( 1 n
1)1( 1 Mn 1)1(lim nn
定理 3(数列与子数列关于收敛的关系 )
如果 则其任一子数列 必收敛,
且注,(1)逆否命题,如果数列 的某一子数列发散或某两个 (或两个以上 )子数列收敛,但极限不同,则数列 必收敛,
,lim Ax nn }{ knx
.lim Ax knk
}{ nx
}{ nx
例 3,证明数列 是发散的,
证明,取两个子列,
奇子列,显然 又偶子列,显然因为 所以不存在,
注,⑵ 如果数列 的奇子列与偶子列均收敛于同一极限,则数列 必收敛,
})1{( 1 n
},)1{( 12 k,1)1(lim 12
k
k
},)1{( 2k?,1)1(lim 2
k
k
1)1(lim 12 kk,1)1(lim 2 kk 1)1(lim nn
}{ nx
}{ nx
本节的学习到此结束
