第二节 换元积分法
一,第一类换元法 —— 凑微分法由复合函数的微分,有则其在求积分时的基本思路是,
—— 易于计算,
dxxxfxdxfxdF )()]([)()]([)]([
CxFCuFduufxdxfdxxxf xu )]([)()()()]([)()]([ )(
duufxdxfdxxxfdxxg xu )()()]([)()]([)( )(
例 1
例 2 求解 注意,,有
u d uxxddxxx d x xu s i n21)2(2s i n2122s i n212s i n 2
CxCu 2c o s21c o s21
dxx23 1
Cuduu ln1
Cuduuxdxdxx xu ln21121)23(23 12123 1 23
.23ln21 Cx
例 3 求解 注意,,有例 4
dxxe x 22
Cedue uu
2222 222 xuxxx dxexd xedxxe CeCedue xuu 2
)(21 22222222 xadxax d xxadxxax
.)(313121 2
3
222
3
2
122
CxaCuduuxau
例 5
所以
.
同理可得例 6
即
Cxx xddxxxx d x c o slnc o sc o sc o ss inta n
Cxx d x c o slnt a n
Cxx d x s i nlnc o t
.a r c t a n1)(
)(1
11
)(1
111
22
222 Ca
x
aa
xd
a
xadx
a
xadxxa
Caxadxxa a r c t a n11 22
例 7
即例 8
即
.a r c s in)(
)(1
1
)(1
11
22
22
C
a
x
a
xd
a
x
dx
a
xa
dx
xa
.a r c s i n1 22 Caxdxxa
)11(2 1)11(2 11 22 dxaxdxaxadxaxaxadxax
.ln2 1)ln( ln2 1 Cax axaCaxaxa
.ln211 22 Cax axadxax
例 9
例 10
x xdxxddxxx ln21 )ln21(21ln21 ln)ln21( 1
.ln21ln21 Cx
)3(32)(2 33
3
xdexdedxxe xx
x
.32 3 Ce x
例 11
注意,(1)对于,如果 中至少有一个为奇数,不妨设 为奇数,其积分方法是,
xdxxx d xcxxdxxx s i n)s i n1(s i nc o sc o ss i nc o ss i n 224252
.s i n71s i n52s i n31s i n)s i ns i n2( s in 753642 Cxxxxdxxx
xd xx nm c o ss i n nm,
n
xdxxxxdxx d xx nmnmnm s i n)s i n1(s i ns i nc o ss i nc o ss i n 2 121
.)1( 2
1
2s i n
duuu
n
mxu
例 12
注意,
(2)对于 或,一般是采用倍角公式进行化简,
dxxxdxxx d x )2c o s2c o s21(41)2 2c o s1(c o s 224
dxxxxx d xxx 2 4c o s1412s in41412c o s412s in4141 2
.4s i n32 12s i n41834s i n32 1812s i n4141 CxxxCxxxx
xdxk2s in? xdxk2co s
例 13
即
xxddxxxdxxx d x 22 c o s1 c o ss i ns i ns i n1c s c
)c o s1(c o s1 121)c o s1(c o s1 121 xdxxdx
.c o tc s clns i nc o s1ln CxxCx x
.c o tc s clnc s c Cxxx d x
xdxx c o s)c o s1 1c o s1 1(21
Cxx c o s1 c o s1ln21
例 14
即例 15
注 (3),
)2(
)2s i n (
1
c o s
1s e c?
xdxdxxx d x
CxxCxx t a ns e cln)2c o t ()2c s c (ln
.t a ns e clns e c Cxxx d x
xdxx d xxx d x t a n)t a n1(s e cs e cs e c 22246
Cxxxxdxx 5342 t a n51t a n32t a nt a n)t a nt a n21(
x d xxxx d xx nknk 2)1(22 s e ct a ns e ct a ns e c
.)1(t a nt a n)t a n1( 12t a n12 duuuxxdx nkxunk
例 16
注 (4),
xdxxx d xxxxx d xx s e c)1( s e cs e ct a ns e ct a ns e ct a ns e c 2224253
.s e c31s e c52s e c71s e c)s e cs e c2( s e c 357246 Cxxxxdxxx
x d xxxxx d xx kmkm t a ns e ct a ns e ct a ns e c 2112
.)1( 21s e c duuu kmxu
xdxx km s e c)1( s e cs e c 21
例 17
注 (5):,
可用积化和差公式,
Cxxdxxxx d xx )s i n5s i n51(21)c o s5( c o s212c o s3c o s
.s i n215s i n101 Cxx
x d xxx d xxx d xx s i ns i n,c o ss i n,c o sc o s
],)c o s ()[ c o s (21c o sc o s xxxx
],)s i n ()[ s i n (21c o ss i n xxxx
].)c o s ()[ c o s (21s i ns i n xxxx
二,第二类换元法其中 单调可导且,
例 18
即
CxFCtFdtttfdxxf xttx
)]([)()()]([)( 1)()(
1
)(tx 0)( t?
Cttadttatd tadxxa tax )2s in21(2)2c o s1(2c o s 2222s i n22
Ca xaaxaaxaCttata
222222
2a r c s i n2c o ss i n22
Cxaxaxa 222 21a r c s in2
.21a r c s in2 22222 Cxaxaxadxxa
例 19
令,则即
).0(,1 22?
adx
ax
22,t a n
ttax
Caxa axCttt d tdx
ax
)l n (t a ns e clns e c1
22
22
Caxx )l n ( 22
.)l n (1 2222 Caxxdx
ax
例 20
令,当 时,,,则当 时,令,则所以
,1 22 dx
ax
)0(?a
dxax 22 1 Caxa axCttt d t )l n (t a ns e clns e c
22
.)l n ( 22 Caxx
CaxxCattdtat )l n ()l n (1 222222dx
ax 22
1
CaxxCaxx )l n (1ln 2222
.||ln1 2222 Caxxdxax
tax sec? ax?
20
ttax sec?
ax )(,attx
注 (6):对被积函数含以下无理根式,可作以下相应的变换,
令令令
,22 xa? ;
22,s in
ttax
,22 ax? ;
22,ta n
ttax
,22 ax? ;20,s e c ttax
例 21 求令 (倒变换 ),则当 时,有当 时也有相同的结果,
注 (7):当被积函数是 的分式时,如果分母的次数比分子的次数,则可用倒变换
.4
22
dxx xa
.)1( 2
1
22
4
22
dtttadxx xa
0?x
Catatadtaadxx xa 2
2
3
22
222
1
22
24
22
3
)1()1()1(
2
1
.3 )( 32
2
3
22
Cxa xa
tx
1?
0?x
2?
x
.1tx?
例 22
例 23
例 24
注 (8):对于含二次三项式的不定积分,一般是对二次三项式进行配方,化成完全平方,即以下标准形式,或
再利用前面所介绍的方法进行积分,
.2 1a r c t a n21)1()2()1( 1321 222 Cxxdxdxxx
.)942l n (21)2(
3)2(
1
2
1
94
1 2
222
Cxxxd
x
dx
x
.
5
12a r c s in)
2
1(
)
2
1()
2
5(
1
1
1
22
2
Cxxd
x
dx
xx
22 ax?,22 xa?
通过本节的讲述,可将一些例子补充于基本积分表内,
(16) ;
(17) ;
(18) ;
(19) ;
(20) ;
(21) ;
Cxx d x c o slnt a n
Cxx d x s i nlnc o t
Cxxx d x t a ns e clns e c
Cxxx d x c o tc s clnc s c
Caxadxxa a r c t a n11 22
Cax axadxax ln211 22
(22) ;
(23) ;
(24) ;
(25) ;
(26)
Caxdxxa a r c s i n1 22
Caxxdx
ax
)l n (1 2222
Caxxdx
ax
||ln1 2222
Caxxaaxxdxax )ln (22 2222222
.||ln22 2222222 Caxxaaxxdxax
本节的学习到此结束
一,第一类换元法 —— 凑微分法由复合函数的微分,有则其在求积分时的基本思路是,
—— 易于计算,
dxxxfxdxfxdF )()]([)()]([)]([
CxFCuFduufxdxfdxxxf xu )]([)()()()]([)()]([ )(
duufxdxfdxxxfdxxg xu )()()]([)()]([)( )(
例 1
例 2 求解 注意,,有
u d uxxddxxx d x xu s i n21)2(2s i n2122s i n212s i n 2
CxCu 2c o s21c o s21
dxx23 1
Cuduu ln1
Cuduuxdxdxx xu ln21121)23(23 12123 1 23
.23ln21 Cx
例 3 求解 注意,,有例 4
dxxe x 22
Cedue uu
2222 222 xuxxx dxexd xedxxe CeCedue xuu 2
)(21 22222222 xadxax d xxadxxax
.)(313121 2
3
222
3
2
122
CxaCuduuxau
例 5
所以
.
同理可得例 6
即
Cxx xddxxxx d x c o slnc o sc o sc o ss inta n
Cxx d x c o slnt a n
Cxx d x s i nlnc o t
.a r c t a n1)(
)(1
11
)(1
111
22
222 Ca
x
aa
xd
a
xadx
a
xadxxa
Caxadxxa a r c t a n11 22
例 7
即例 8
即
.a r c s in)(
)(1
1
)(1
11
22
22
C
a
x
a
xd
a
x
dx
a
xa
dx
xa
.a r c s i n1 22 Caxdxxa
)11(2 1)11(2 11 22 dxaxdxaxadxaxaxadxax
.ln2 1)ln( ln2 1 Cax axaCaxaxa
.ln211 22 Cax axadxax
例 9
例 10
x xdxxddxxx ln21 )ln21(21ln21 ln)ln21( 1
.ln21ln21 Cx
)3(32)(2 33
3
xdexdedxxe xx
x
.32 3 Ce x
例 11
注意,(1)对于,如果 中至少有一个为奇数,不妨设 为奇数,其积分方法是,
xdxxx d xcxxdxxx s i n)s i n1(s i nc o sc o ss i nc o ss i n 224252
.s i n71s i n52s i n31s i n)s i ns i n2( s in 753642 Cxxxxdxxx
xd xx nm c o ss i n nm,
n
xdxxxxdxx d xx nmnmnm s i n)s i n1(s i ns i nc o ss i nc o ss i n 2 121
.)1( 2
1
2s i n
duuu
n
mxu
例 12
注意,
(2)对于 或,一般是采用倍角公式进行化简,
dxxxdxxx d x )2c o s2c o s21(41)2 2c o s1(c o s 224
dxxxxx d xxx 2 4c o s1412s in41412c o s412s in4141 2
.4s i n32 12s i n41834s i n32 1812s i n4141 CxxxCxxxx
xdxk2s in? xdxk2co s
例 13
即
xxddxxxdxxx d x 22 c o s1 c o ss i ns i ns i n1c s c
)c o s1(c o s1 121)c o s1(c o s1 121 xdxxdx
.c o tc s clns i nc o s1ln CxxCx x
.c o tc s clnc s c Cxxx d x
xdxx c o s)c o s1 1c o s1 1(21
Cxx c o s1 c o s1ln21
例 14
即例 15
注 (3),
)2(
)2s i n (
1
c o s
1s e c?
xdxdxxx d x
CxxCxx t a ns e cln)2c o t ()2c s c (ln
.t a ns e clns e c Cxxx d x
xdxx d xxx d x t a n)t a n1(s e cs e cs e c 22246
Cxxxxdxx 5342 t a n51t a n32t a nt a n)t a nt a n21(
x d xxxx d xx nknk 2)1(22 s e ct a ns e ct a ns e c
.)1(t a nt a n)t a n1( 12t a n12 duuuxxdx nkxunk
例 16
注 (4),
xdxxx d xxxxx d xx s e c)1( s e cs e ct a ns e ct a ns e ct a ns e c 2224253
.s e c31s e c52s e c71s e c)s e cs e c2( s e c 357246 Cxxxxdxxx
x d xxxxx d xx kmkm t a ns e ct a ns e ct a ns e c 2112
.)1( 21s e c duuu kmxu
xdxx km s e c)1( s e cs e c 21
例 17
注 (5):,
可用积化和差公式,
Cxxdxxxx d xx )s i n5s i n51(21)c o s5( c o s212c o s3c o s
.s i n215s i n101 Cxx
x d xxx d xxx d xx s i ns i n,c o ss i n,c o sc o s
],)c o s ()[ c o s (21c o sc o s xxxx
],)s i n ()[ s i n (21c o ss i n xxxx
].)c o s ()[ c o s (21s i ns i n xxxx
二,第二类换元法其中 单调可导且,
例 18
即
CxFCtFdtttfdxxf xttx
)]([)()()]([)( 1)()(
1
)(tx 0)( t?
Cttadttatd tadxxa tax )2s in21(2)2c o s1(2c o s 2222s i n22
Ca xaaxaaxaCttata
222222
2a r c s i n2c o ss i n22
Cxaxaxa 222 21a r c s in2
.21a r c s in2 22222 Cxaxaxadxxa
例 19
令,则即
).0(,1 22?
adx
ax
22,t a n
ttax
Caxa axCttt d tdx
ax
)l n (t a ns e clns e c1
22
22
Caxx )l n ( 22
.)l n (1 2222 Caxxdx
ax
例 20
令,当 时,,,则当 时,令,则所以
,1 22 dx
ax
)0(?a
dxax 22 1 Caxa axCttt d t )l n (t a ns e clns e c
22
.)l n ( 22 Caxx
CaxxCattdtat )l n ()l n (1 222222dx
ax 22
1
CaxxCaxx )l n (1ln 2222
.||ln1 2222 Caxxdxax
tax sec? ax?
20
ttax sec?
ax )(,attx
注 (6):对被积函数含以下无理根式,可作以下相应的变换,
令令令
,22 xa? ;
22,s in
ttax
,22 ax? ;
22,ta n
ttax
,22 ax? ;20,s e c ttax
例 21 求令 (倒变换 ),则当 时,有当 时也有相同的结果,
注 (7):当被积函数是 的分式时,如果分母的次数比分子的次数,则可用倒变换
.4
22
dxx xa
.)1( 2
1
22
4
22
dtttadxx xa
0?x
Catatadtaadxx xa 2
2
3
22
222
1
22
24
22
3
)1()1()1(
2
1
.3 )( 32
2
3
22
Cxa xa
tx
1?
0?x
2?
x
.1tx?
例 22
例 23
例 24
注 (8):对于含二次三项式的不定积分,一般是对二次三项式进行配方,化成完全平方,即以下标准形式,或
再利用前面所介绍的方法进行积分,
.2 1a r c t a n21)1()2()1( 1321 222 Cxxdxdxxx
.)942l n (21)2(
3)2(
1
2
1
94
1 2
222
Cxxxd
x
dx
x
.
5
12a r c s in)
2
1(
)
2
1()
2
5(
1
1
1
22
2
Cxxd
x
dx
xx
22 ax?,22 xa?
通过本节的讲述,可将一些例子补充于基本积分表内,
(16) ;
(17) ;
(18) ;
(19) ;
(20) ;
(21) ;
Cxx d x c o slnt a n
Cxx d x s i nlnc o t
Cxxx d x t a ns e clns e c
Cxxx d x c o tc s clnc s c
Caxadxxa a r c t a n11 22
Cax axadxax ln211 22
(22) ;
(23) ;
(24) ;
(25) ;
(26)
Caxdxxa a r c s i n1 22
Caxxdx
ax
)l n (1 2222
Caxxdx
ax
||ln1 2222
Caxxaaxxdxax )ln (22 2222222
.||ln22 2222222 Caxxaaxxdxax
本节的学习到此结束
