第二节 罗必塔法则
罗必塔法则主要用于解决未定式 ( 型,型 )的极限,
一,( 型 ),其中
定理 设
⑴
⑵ 在 内 与 都存在,且
⑶ 存在 (或为无穷大 ),
则有
0
0
)(
)(lim
0 xg
xf
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0,0)(lim,0)(lim
00
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xgxf xxxx
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)(
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.)( )(lim)( )(lim
00 xg
xf
xg
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xxxx?
证明,因为当 时,的极限与 和无关,不妨设所以 与 在 内连续,任意,则与 在 以为端点的区间上满足 Cauchy中值定理的条件,所以 在 与之间,
即从而
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)(
)(
xg
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xg
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注意
(1)定理表明,如果未定式 型满足罗必塔法则的条件,则未定式的极限可用对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限,
如果 还是 型,可再用一次罗必塔法则,直至不是未定式 型为止,
即
0
0
)(
)(lim
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g
f
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0
0
0
0
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)(
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xf
n
n
xxxxxx
(2) 罗必塔法则对 时的未定式 型也适用,对 或 的未定式 型也适用,
即
(3)如果不是未定式,则不能用罗必塔法则,
x
0
0
0xxx
)(
)(lim
)(
)(lim
)(
)(lim
)(
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xg
xf
g
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型 型 型不是
例 1
例 2
例 3
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2
3
26
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x
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x
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x
x
x
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x
x
x
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注意 (4) 在运用罗必塔法则的过程中,如果出现极限不为零的因子,可将其因子的极限先计算 ;如果出现极限为零的因子,可用其等价无穷小来代替,以简化求极限的计算,
例 4
303
22
0
22l i m
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22l i m
x
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e
eexexe xx
xx
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x
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0
0
20
0
0
x
x
x
x
xx
x
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例 5 设 则例 6 ( 为正整数,
由以上两例得当 时,
,0?n
.01lim
1
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nxnxnx nxnx
x
x
x
x
n
x e
x
lim )0
n
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1
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n
x e
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二,其他未定式
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)(lim
)(1
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xg
xg
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型0 型
0
0 型
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0
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0
10
例 7 型例 8
或原式
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x
x
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2
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1
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1
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t
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2,型先通分 (或作变换 ),化成分式后为未定式,,型,即例 9
例 10
0
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0
0
0
1
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1
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c o slim
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0
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t
t
t
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3.幂指函数的未定式,
未定式,求极限有两种方法 (类似于求幂指函数的导数 ),
方法一,设 两边取对数,有取极限,有则方法二,因为所以
.,1,0 00
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,)( )( xgxfy? ),(ln)(ln xfxgy?
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,)( )(ln)()( xfxgxg exf?
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例 11 求 ( 型 )
解 方法一,令,两边取对数,有所以故方法二,
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1
1
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x
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例 12 求 型,
方法一,令,两边取对数,有所以方法二,
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x
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例 13 求解 令 两边取对数,得所以
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注意 特别地,对于 型,有下面的简单的计算方法,
设 则如上例,有最后指出,罗必塔法则在求未定式极限时也不是万能的,如
"1"?
,)(lim,1)(lim xvxu
.)(l i m )(]1)(l i m [)( xvxuxv exu
x
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33
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a b cccbbaa xxx
x
例 15 求解,
如果用罗必塔法则,有不存在,原因是 不存在,
不满足罗必塔法则的条件,
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1
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x
x
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)(
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本节的学习到此结束
罗必塔法则主要用于解决未定式 ( 型,型 )的极限,
一,( 型 ),其中
定理 设
⑴
⑵ 在 内 与 都存在,且
⑶ 存在 (或为无穷大 ),
则有
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证明,因为当 时,的极限与 和无关,不妨设所以 与 在 内连续,任意,则与 在 以为端点的区间上满足 Cauchy中值定理的条件,所以 在 与之间,
即从而
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注意
(1)定理表明,如果未定式 型满足罗必塔法则的条件,则未定式的极限可用对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限,
如果 还是 型,可再用一次罗必塔法则,直至不是未定式 型为止,
即
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(2) 罗必塔法则对 时的未定式 型也适用,对 或 的未定式 型也适用,
即
(3)如果不是未定式,则不能用罗必塔法则,
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注意 (4) 在运用罗必塔法则的过程中,如果出现极限不为零的因子,可将其因子的极限先计算 ;如果出现极限为零的因子,可用其等价无穷小来代替,以简化求极限的计算,
例 4
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例 5 设 则例 6 ( 为正整数,
由以上两例得当 时,
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例 7 型例 8
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3.幂指函数的未定式,
未定式,求极限有两种方法 (类似于求幂指函数的导数 ),
方法一,设 两边取对数,有取极限,有则方法二,因为所以
.,1,0 00
)()(lim xgxf
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例 11 求 ( 型 )
解 方法一,令,两边取对数,有所以故方法二,
,lim0 xx x
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例 12 求 型,
方法一,令,两边取对数,有所以方法二,
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例 13 求解 令 两边取对数,得所以
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注意 特别地,对于 型,有下面的简单的计算方法,
设 则如上例,有最后指出,罗必塔法则在求未定式极限时也不是万能的,如
"1"?
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例 15 求解,
如果用罗必塔法则,有不存在,原因是 不存在,
不满足罗必塔法则的条件,
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本节的学习到此结束
