第六节 最值问题
一,闭区间上连续函数的最值的求法假设 在 上连续,在 内可导,且至多在有限个点处导数为零,下面讨论求在 上的最值,
(1) 在 上必有最大值与最小值 ;
(2)如果 在 内取到最大值 (或最小值 ),则最大 (小 )值必是 的极大 (小 )值,从而最值点必是 的驻点,
)(xf ],[ ba ),( ba
)(xf
],[ ba
)(xf ],[ ba
)(xf ),( ba
)(xf
)(xf
由以上分析可得求 的最值方法为,
⑴ 求 得 的点,
⑵ 最大值最小值
)(xf
)(xf? )(xf ;,,,21 nxxx?
) },(),(,),(),(),(m a x { 21 bfxfxfxfafM n
) },(),(,),(),(),(m i n { 21 bfxfxfxfafm n
例 1 求 在 上的最大值与最小值,
解,令所以驻点因为所以
141232 23 xxxy ]4,3[?
),1)(2(61266 2 xxxxy,0y
.1,2 21 xx
,142)4(,7)1(,34)2(,23)3( ffff
,142)4()}4(),1(),2(),3(m a x { fffffM
.7)1()}4(),1(),2(),3(m i n { fffffm
在求函数的最值时,特别值域的一种情形是 在区间 上只有一个驻点的情况,如果该驻点为极大值点,则 为 的最大值 ;如果驻点为极小值点,则 为 的最小值,
(此时判断该驻点为极大 (小 )值点,一般用第二充分条件 ),
)(xf I
)( 0xf )(xf
)( 0xf )(xf
例 2 求函数 在何处取到最大值,
解,
令得,只有唯一驻点,而因为所以函数 在 处取得最大值,
12 x
xy )0(?x
,)1( 1 22
2
x
xy,0y
1?x,
)1(
)3(2
32
2
x
xxy
,021| 1xy
12 x
xy 1?x
二,实际问题的最值在实际问题中,由实践问题的性质可判断 有最大 (小 )值,且在定义区间内部取得,如果 在定义区间内部只有一个驻点,则 必是最大 (小 )值,
)(xf
)(xf
)( 0xf
0x
三,最值 (或极值 )的应用 —— 证明不等式例 4 设,且,证明证明 只须证,
分析 由,得 如果令
,
为 的唯一驻点,又为极小值,得 为最小值,
1)(lim 0 xxfx 0)( xf,)( xxf?
0)()( xxfxF
,1)0(,0)0( ff1)(lim 0 xxfx
00)0(,1)()(,0)0( xFxfxFFxxfxF )()(
)(xF 0,0)()( xxfxF
0?x
证明 连续,由,得所以故令,且,,
且,所以 为 的驻点,
所以 为 的极小值点,
且,从而 只有一个驻点,故为 的最小值,所以即
)(xf 1)(lim
0 x
xf
x
,0)0(?f
),(0 )0()(lim)(lim1 00 xfx fxfx xf xx
.1)0(f
0)0(?F 1)()( xfxFxxfxF )()(
0)0(F 0?x )(xF
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)(xF )(xF? 0?x 0)0(?F
)(xF,0)0()( FxF
.)( xxf?
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一,闭区间上连续函数的最值的求法假设 在 上连续,在 内可导,且至多在有限个点处导数为零,下面讨论求在 上的最值,
(1) 在 上必有最大值与最小值 ;
(2)如果 在 内取到最大值 (或最小值 ),则最大 (小 )值必是 的极大 (小 )值,从而最值点必是 的驻点,
)(xf ],[ ba ),( ba
)(xf
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由以上分析可得求 的最值方法为,
⑴ 求 得 的点,
⑵ 最大值最小值
)(xf
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) },(),(,),(),(),(m a x { 21 bfxfxfxfafM n
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例 1 求 在 上的最大值与最小值,
解,令所以驻点因为所以
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),1)(2(61266 2 xxxxy,0y
.1,2 21 xx
,142)4(,7)1(,34)2(,23)3( ffff
,142)4()}4(),1(),2(),3(m a x { fffffM
.7)1()}4(),1(),2(),3(m i n { fffffm
在求函数的最值时,特别值域的一种情形是 在区间 上只有一个驻点的情况,如果该驻点为极大值点,则 为 的最大值 ;如果驻点为极小值点,则 为 的最小值,
(此时判断该驻点为极大 (小 )值点,一般用第二充分条件 ),
)(xf I
)( 0xf )(xf
)( 0xf )(xf
例 2 求函数 在何处取到最大值,
解,
令得,只有唯一驻点,而因为所以函数 在 处取得最大值,
12 x
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,)1( 1 22
2
x
xy,0y
1?x,
)1(
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32
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x
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,021| 1xy
12 x
xy 1?x
二,实际问题的最值在实际问题中,由实践问题的性质可判断 有最大 (小 )值,且在定义区间内部取得,如果 在定义区间内部只有一个驻点,则 必是最大 (小 )值,
)(xf
)(xf
)( 0xf
0x
三,最值 (或极值 )的应用 —— 证明不等式例 4 设,且,证明证明 只须证,
分析 由,得 如果令
,
为 的唯一驻点,又为极小值,得 为最小值,
1)(lim 0 xxfx 0)( xf,)( xxf?
0)()( xxfxF
,1)0(,0)0( ff1)(lim 0 xxfx
00)0(,1)()(,0)0( xFxfxFFxxfxF )()(
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证明 连续,由,得所以故令,且,,
且,所以 为 的驻点,
所以 为 的极小值点,
且,从而 只有一个驻点,故为 的最小值,所以即
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0 x
xf
x
,0)0(?f
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