第四节 几种特殊类型函数的积分
一.有理函数的积分
1.有理函数的分解
给定有理函数
 (1)
其中为正整数,为实数且.
假设与没有公因式.
(1)当时,称有理函数为真分式.
(2)当时,称有理函数为假分式.但假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和.
下面给出真分式的一个性质:
在实数范围内,必能分解成一次因式与二次不可约因式的乘积,即

其中.则真分式可分解成下列部分分式之和:




其中是实数.那么怎样确定分解式中的待定系数呢?请见下例:
例1 将有理分式 分解成部分分式之和.
解 设,
去分母,有

确定系数的方法有二.
方法一:比较同类项系数,有

,
故

解得所以
.
方法二:赋值法.
令得.
令得,所以

解得.
令得;再令得.所以

2.有理分式的积分
从有理分式的分解式知,有理分式的积分转化成以下几类积分:
(1)——多项式的积分;
(2);
(3);
(4);
(5) .
(4),(5)类型的积分在下面例子中介绍.
例2 求.
解 



.
注,的积分方法是将化成,从而有

而,所以
.
例3 求.
解 
,所以
.
例4 求.
解 
,
而 ,
,
,
所以
.
二.三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指,其中为有理函数,即是关于的有理式.
求.
解 用万能代换:,则
.
所以

.
注意:对于三角函数有理式,万能代换:不一定是最简代换.如
(1)时,作,或
(2)直接凑微分进行积分.
三.简单无理函数的积分
.其基本思路是作变量代换,去掉根号,化无理分式为有理分式.
例6 求.
解 为除掉,令,则,所以

.
例7 求.
解 令,则,所以

.