定积分2
例题
1.求.
分析 被积函数含自变量,不能直接用积分上限函数的求导方法,因此首先将被积函数中的变到积分符号外面来.
解 原式
.
典型错误,.
2.设,求.
分析 将被积函数中的分离出来,为此作变量代换.
解 令,则,.由定积分的换元法,得
.
两边对求导,得
.
总结:…….
3.设为连续函数,且,求.
[分析] 此类方程是所谓的积分方程，解题思路是除掉积分号。要注意积分变量与积分上限函数的自变量的区别。
解 方程两边同时对求导得
，则
令，所以，故 ，即
 
4．已知连续，且，求。
解 方程两边同时对求导得
 ……（1）
由于左边与不能分离，令，由定积分的换元法，得

则（1）化成
 ……（2）
（2）两边同时对求导得

即  ……（3）
令，代入（3）式得

5．设在处可导，且，
求。
解 注意到，所以

又为常数，设为。则

上式两边对求导得

得，所以，而
，得，故

6．设，求。
解 方程两边积分得

所以 ，故 。
注意：是常数。
7．设为非负连续函数，且，求。
解 定积分的证明，计算应考虑作一定的变形。原方程化成 ，且，即为的原函数，故令，则。又，由条件得

两边积分得

注意到，所以。故

因为，由定积分的性质得，所以

而

8．设是区间上的任一非负连续函数。
（1）试证明存在使得在区间上以为高的矩形的面积等于区间上以为曲边的曲边梯形的面积。
（2）又设在内可导且。证明（1）中的唯一。
证明,（1）要证明存在使得
，只需证明
在内有一根。为此设，在上连续，
而 在内存在，且，由罗尔定理。至少存在一点使得，即

（2），由条件知 ，即，所以在内严格单调递减，故在内的根唯一，即（1）中的唯一。