第七节 广义积分
一.无穷限的广义积分
定义 设在上连续,取,如果极限

存在,则称该极限为在上的广义积分,记作,即
=.
此时也称广义积分收敛;如果极限不存在,则称广义积分发散(此时广义积分无意义).
设在上连续,取.如果极限

存在,则称该极限为在上的广义积分,记作,即
=.
此时也称广义积分收敛;如果极限不存在,则称广义积分发散.
设在上连续,如果广义积分
与
都收敛,则称上述两个广义积分之和为在上的广义积分,记作,即
=+.
此时也称收敛;否则称发散.
注:广义积分的计算也有类似于定积分的Newton—Leibniz公式:
.
其中是在上的一个原函数.
.
其中是在上的一个原函数,且.
=.
其中是在上的一个原函数.
其计算方法完全类似于定积分.
例1 求.
解 =＋.
=.
=.
所以
=.
例2 求或求.
解 .
例3 证明广义积分当时收敛;当时发散.
证明 当时,
=,
所以当时发散.
当时,
=
所以当时,收敛,其值为;当时,广义积分发散.
二.无界函数的广义积分
定义 设在上连续,在内无界.取,如果极限

存在,则称此极限为在上的广义积分,记为,即
=.
此时也称广义积分收敛.如果极限不存在,则称广义积分发散.
设在上连续,在内无界.取,如果极限

存在,则称该极限为在上的广义积分,记作,即
=.
此时也称广义积分收敛,如果极限不存在,则称广义积分发散.
设在上除点外连续,而在内无界.如果两个广义积分
与
都收敛,则定义
=+.
否则,称广义积分.
注:无界函数的广义积分也有类似于定积分的Newton—Leibniz公式,即
=.
其中在的右侧无界.
=.
其中在的左侧无界.
=+=
.
其中在的附近无界.
定积分的计算方法对无界函数的广义积分也成立.
例4 求,).
解 ,所以
=.
例5 证明广义积分当时收敛;当时发散.
证明 当时
=.
所以当时,广义积分发散.
当时
=
所以,当时,广义积分收敛,其值为;当时,广义积分发散.