第四节 平面曲线的弧长

对于平面上的光滑曲线是可求长的.
一.直角坐标情形
设曲线弧在直角坐标系下的方程为

其中在上有一阶连续导数.下求该曲线弧的长度.
取为积分变量,积分区间为,在上任取一个小区间,则弧微分
,
所以弧长元素(弧微分)
.
故所求弧长为
.
如果曲线弧的方程为,且在上有一阶连续导数.则取为积分变量,积分区间为,则弧微分
,
故所求弧长为
.
例 求曲线的弧长.
解 因为,所以.取为积分变量,积分区间为,则弧长元素为
.
故所求弧长
.
二.参数方程情形
设曲线弧的参数方程为
 .
其中在上有连续导数.求该曲线的弧长.
取参数为积分变量.则积分区间为,则弧长元素
.
故所求弧长
.
例 求曲线自到的一段弧的弧长.
解 ,则弧长元素
.
故所求弧长
.

三.极坐标情形
设曲线弧的极坐标方程为
,.
其中在上有连续导数.求该曲线弧的弧长.
由直角坐标与极坐标的关系
 
将看成参数,则弧长元素
,
故所求弧长为
.
例 求曲线的长度.
解 .