第二节 平面图形的面积
一.直角坐标情形
例1 求由两条抛物线及所围图形的面积.
解 (1)画草图,求交点.
解方程组得交点.
(2)选取积分变量,并确定积分区间.
取为积分变量,积分区间为.在上任取一个小区间,则面积元素
,
(3)故所求面积为
.
如果取为积分变量,则积分区间为.在上任取一个小区间,则面积元素
,
故所求面积为
.
注:在直角坐标系下求平面图形的面积时,既可取为积分变量,也可取为积分变量.原则是:
(1)所求积分简便;
(2)面积元素最好由一个式子表示.
例2 求由及所围成的平面图形的面积.
解 (1) 画草图,求交点.
解得交点.
(2) 取为积分变量,则积分区间为,在上任取一个小区间,则面积元素

(3)故所求面积为
.
如取为积分变量,则积分区间为,则面积元素

故所求面积为
.
显然取为积分变量较繁!
例3 求所围图形的面积.
解 由对称性知:,其中是椭圆在第一象限的面积.
=.
由椭圆的参数方程

得
.
故所求面积为
=.
二.极坐标情形
设曲边扇形:所围成,如图:
取为积分变量,则积分区间为,则面积元素为
,
所求面积为
.
例 求心形线所围图形的面积.
解 由对称性知:.取为积分变量,则积分区间为,在上任取一个小区间,则面积元素为
,
故所求面积为
=.
例 求由所围公共部分的面积.
解 求交点.解得交点.
由对称性知.而
.
故所求面积为
=.