第四节 数量积 向量积 混合积
一.数量积
1.定义及其性质
向量与的数量积,记为,定义为
=.
由数量积的定义,有
(1) =.所以
.
(2)或.
(3) =.所以
.
(4).
运算规律:
(1)交换律,=;
(2)分配律:;
(3).
2.数量积的坐标表达式
设,则
=.
即两向量的数量积等于对应的坐标分量乘积之和.
由1.之(3),有
=.
上式是求的基本方法.
由1.之(4),有
=0.
例1 设.求.
解 =()()=6+7－3
=6+7·－3=6·＋.
例2 设.求
(1); (2); (3).
解 (1) =.
(2) =,所以
=.
(3) =.
例3 设.求是的条件.
解 ,即
,
解得.
二.向量积
1.定义及其性质
向量与的向量积,记为,定义为
(1);
(2),,且,,构成右手系.
显然有:
(1)×=;
(2)//=0或=;
(3)等于以,为邻边的平行四边形的面积.
运算规律:
(1) =－×;
(2) ×(＋)=＋×;(＋)×=×＋×.
(3)()×=()=×().
2.向量积的坐标表达式
设=,=,则
=.
例1 设.求.
解 =－2().所以
==.
例2 设.求同时垂直于与的单位向量.
解 =,=,则
×=,
故所求单位向量
.
例3 求以与为边所作平行四边形的对角线长及面积.
解 对角线:,所以
.
故所求的平行四边形的面积为
.
三.混合积
向量的混合积,记为,规定为
=.
设,,,则
=.
几何意义:
(1)如果构成右手系,则=.
(2)如果构成左手系,则=－.
例 向量共面=0.
证明 向量共面=0=0=0.