第三节 反函数 复合函数及隐函数的求导法则
一,反函数的导数
反函数的求导法则:
设在处有不等于零的导数,且其反函数在相应点处连续,则存在,且
,
或
.
即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.
证明 的反函数.当的自变量取得增量时,因变量取得相应的增量.当时,必有.事实上,如果

则,但是一一对应的,故,则与的假设矛盾.所以当时,有
,
又在相应点处连续,所以时,.由,得
.
例1 设,求.
解 设为直接函数,则为其反函数.
在内单调,可导,且
.
在对应的区间内有
.
又,所以
.
同理可得:
.
例2 设,求.
解 设为直接函数,则为其反函数.
在内单调,可导,且.在对应的区间内有
.
又,所以
.
同理可得:
.
二,复合函数的求导
复合函数求导法则:
设即是的一个复合函数:.如果在处有导数在对应点处有导数,则在处的导数存在,且

或
.
如果,则的导数为
.
例1 设,求.
解 设,则
.
例2 求的导数.
解 设,则
.
例3 设,求.
解 设,则
.
例4 设,求.
解 ,.
例5 设,求.
解 .
例6 求的导数.
解 
.
例7 设,求.
解 
.
例8 设,求.
解 
例9 设,求.
解 ,则
.
所以.
例10 设,求.
解 设,则.所以
.
三,隐函数的导数
显函数:等号左边是因变量,右边是含有自变量的代数式.
隐函数:非显函数,形如.
如:为显函数,而为隐函数.
将隐函数化为显函数称为隐函数的显化,但不是所有隐函数都可以显化.
如:就不可以显化.
不用显化直接由方程求隐函数的导数称为隐函数的求导.
例1 由方程确定是的函数,求.
解 方程两边对求导,有

所以.
例2 由确定是的函数,求其曲线上点处的切线方程.
解 方程两边对求导,有

所以..所以切线方程为
,即 .
例3 设,其中为可微函数,求.
解 .
四,对数求导法
1.幂指函数的求导法
设,两边取对数

方程两边对求导,有

所以 
或 ,则
.
例1 设,求.
解 (1)两边取对数,有

两边对求导,有

所以 .
(2) ,则
.
2.乘积函数的求导法
设,两边取对数,有
,
两边对求导,有

所以
.
例1 求的导数.
解 ,则
,
所以

例2 设,求.
解 .