第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一,连续函数的运算
由极限的运算法则,有
定理 如果在处连续,则函数也在处连续.
定理 (反函数的连续性)
如果在区间上单调且连续,则其反函数在对应的区间上单调且连续.
定理 (复合函数的连续性)
设在处连续,且,在处连续,则复合函数在处连续.
二,初等函数的连续性
结论1 基本初等函数在其定义域内都是连续的.
结论2 初等函数在其定义区间内都是连续的.
例 的定义域为是一个离散点集,对这样的点不谈连续性.注意在处连续的必要条件是在内有定义.
三.初等函数连续性的应用
设是初等函数在其定义区间内的一点,则有
.
例 
第十一节 闭区间上连续函数的性质
一.最值定理
设在区间上有定义.,有
 (或)
则称为在区间上的最大值(或最小值).
定理(最值定理) 闭区间上的连续函数必有最大值与最小值.即
设在上连续,则存在使得
 
 .
注意 如果不是闭区间上的连续函数,则结论不一定成立.
如:在内连续,但在内无最值.
如:在上不连续,在上既无最大值也无最小值.
由最值定理,可得
定理(有界性定理)闭区间上的连续函数在该区间上有界.即
设在闭区间上连续,则使得
 ().
例 设存在,且在上连续.证明在上有界.
二.介值定理
如果,则称为的零点.
定理(零点定理)
设在上连续,且,则使得
几何上表示轴与曲线至少有一个交点.
定理(介值定理)
设在上连续,,则,,使得

证明 分析:要证明,只须证方程

在内有根,即证函数在内有零点.
令,则在上连续.不妨设则.由零点定理,即
几何上表示水平直线与曲线至少有一个交点.
推论 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.
例1 证明方程在内至少有一个根.
分析:实质上是证明函数在内至少有一个零点.
证明 令,显然在上连续,且

由零点定理,

即所以结论真.
注意 要证明方程在内有根证明函数在内有零点.用闭区间上的连续函数的零点定理是基本方法之一.
例2 设在上连续,且.证明在上至少存在一点,使得
分析:问题归结为证明方程在上至少有一根,即在上至少有一个零点.
证明 令,显然在上连续,又

(1)如果或,则取或1,有
(2)如果,由零点定理,,即
例3 设在上连续,证明
证明
方法一:用介值定理.
(1)如果,取或.
(2)如果.不妨设,则
.
由介值定理,
方法二:用零点定理.
只须证明函数在上至少有一个零点.
显然在上连续,且

(1)如果,则,取或.
(2) 如果.不妨设,则

由零点定理,
,
即 
注意 由上例可知,零点定理与介值定理的作用是一样的.