第四节 函数极限

主要讨论:在自变量的某一变化过程中,函数是否与一常数无限接近,即
(1);
(2).
一.,即自变量无限接近时,无限接近于.
1.定义
定义 设在内有定义.,当时,有

成立,则称为当时的极限,记作
 或 .
注(1)由极限的定义知,当时是否有极限与在处是否有定义无关.
(2)反映了与的接近程度.由于可以任意小,故与可无限接近.
(3)反映了自变量与的接近程度.
(4)给定,问题是是否存在.如果存在,则当时以为极限;否则,的极限不存在.因此,只要确定一个,而不必找出最大的.一般地,如果越小,则也越小.
(5) 的求法是由不等式接出(不是解,取即可.同数列极限,如果解较困难,可将适当放大,即

再解出.
(6)几何意义:当,即时,有
.
(7)显然有.
例1 证明.
证明 在处无意义,但极限存在.
,要使

取,当时,有

即.
例2 证明.
证明 ,要使
 (解出几乎不可能)
将适当放大,怎么放呢?因为时,不妨设,即,.从而

解得.取,则当时,有,即.
2.性质
定理(局部保号性) 如果,且(或),则存在,当时,有
 (或)
证明 设,取,则,当时,有
.
注:如果取,则,当时,有.
定理 设时,(或),且,则(或).
注:如果时(或),且,则不一定有(或).
如在的邻域内有,但.
3.左、右极限,,.
(1)左极限,(或)
当时,有成立.
(2)右极限,(或)
当时,有成立.
(3)左、右极限与函数极限的关系:
.
注:如果在处的左、右极限至少有一个不存在或都存在但不相等,则不存在.该结论经常用来讨论分段函数在分段点的极限是否存在.
例 求符号函数当时的极限.
解 为的分段点.

因为,所以不存在.
二,.
包括和.
定义 (1)设当时有定义.,当时,有

成立,则称为当的极限,记为或.
(2)设当时有定义,,当时,有

成立,则称为当时的极限,记为或.
(3) 设当时有定义,,当时,有

成立,则称为当时的极限,记为或.
注:(1) 的几何意义:
(2) .
(3) ,则为曲线的水平渐进线.
例 证明.
证明 ,要使

则.取,则当时,有

即.
例 求.
解 ,,所以不存在.
同理
,所以不存在.
记住:均不存在.