第七节 曲线的凹凸性与拐点
一,曲线的凹凸性与拐点
定义 设在区间上连续,,有
,(或)
则称在区间上的图形是(上)凸(凹)的,或简称凸弧(或凹弧).
我们可用二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性.
定理 设在上连续,在内可导,则
(1)如果有,则曲线在上是凹的;
(2) 如果有,则曲线在上是凸的
证明 将在处展开,有

在与之间.所以

在与之间.

在与之间.两式相加,得
.
(1)如果,则,所以
,
即曲线在上是凹的.
(2)如果,则
,
即曲线在上是凸的.
例1 判断曲线的凹凸性.
解 的定义域为.

当时,,曲线是凸的;当是,,曲线是凹的.所以曲线在上是凸的,在上是凹的.其中,即点为曲线的凸弧与凹弧的分界点,称为曲线的拐点.
二.曲线凹凸区间及拐点的求法
连续曲线的凹弧与凸弧的分界点,称为该曲线的拐点.
按以下步骤求曲线的拐点:
(1)求的定义域(如给定的范围,此步省略);
(2)求,,并求出的点及不存在的点;
(3)将(2)中的点插入(1)中得一些小区间,列表讨论在这些小区间上的符号,从而确定的凹凸区间及拐点.
例2 求曲线的凹凸区间及拐点.
解 (1) 的定义域为;
(2),
令.
(3)列表讨论:


0




+
0
-
0
+


拐点


拐点


所以曲线的凹区间为,凸区间为,拐点为
例3 求曲线的凹凸区间及拐点.
解 定义域为,
令,无解.但时不存在.
列表讨论:


1


+
不存在
-


拐点

所以曲线在上凹,在上凸,且拐点为.
三.曲线凹凸性的应用——珍珠米不等式
例4 证明不等式
.
分析,
令,则证明,即在上是凹的.
证明 令,显然在内连续可导,且
,
所以在内是凹的.从而,有
,
即

所以
.
注意 在证明某函数两点的函数值之和与两点的中点的函数值之间的关系时,经常用函数的凹凸性加以证明.