第三章 中值定理与导数的应用
第一节 中值定理
一.Rolle定理
Rolle定理 如果
(1)在上连续;
(2)在内可导;
(3)
则
证明 因为在上连续,则在上必取得最大值和最小值.
(1),此时所以从而可取内的任一点作为,有.
(2).不妨设,则必存在.往证.
由的存在,可得

存在.对于

和
.
显然 .
当时,,从而,即.……（1）
当时,,从而,即.……（2）
由(1)与(2)得

即
.
注意 Rolle定理主要应用在证明的导函数有零点.
例1 设在上连续,在内可导,且.证明在内至少有一点.
分析,
即要证明的导函数在内有根.
证明 令,显然在上连续,在内可导,且


从而在上满足Rolle定理的条件,故存在,即

所以
.
设,证明函数
在内必有一根.
证明 令,显然在上满足Rolle定理的条件,且.由Rolle定理得,,使得

即

所以在内必有一根.
例3 设在上连续,在内可导,且.证明方程在内恰有一根.
证明 (1)先证在内有一根.
令,则在上连续,且
,
由零点定理,,即在内有一根.
(2)往证在内只有一根.
反证法:设在内有两个根,则在上满足Rolle定理的条件,所以,使得

但,故假设不成立.
由(1)与(2)知,在内恰有一根.
二.Langrage中值定理(也称有限增量定理或微分中值定理)
Langrage中值定理 如果函数
(1)在上连续;
(2)在内可导;
则 ……(*)
注意 (1)当时,公式(*)仍成立.公式(*)称为Langrage中值公式.
(2)公式(*)的等价形式:令,则
 在与之间.
从而,所以
  (**)
或
 (***)
即由Langrage中值公式,可得函数增量的精确表达式,从而该定理又称为有限增量定理,有时也称为微分中值定理.
推论 如果在区间上的导数恒为零,则在区间上是一个常数.
证明 ,不妨设,显然在上满足Langrage中值定理的条件,故存在,使得
 
又,所以

即
.
由的任意性知:
注意 此处的区间可以是任何类型的区间.
例4 证明当时,.
证明 (分析 .
令,则在区间上满足Langrage中值定理的条件,故存在,使得

即
,
又,所以
.
注意 从例4的证明可以看出用Langrage中值定理证明不等式的基本思路是:
(1)构造辅助函数:这可以从待证不等式分析出辅助函数的构造;
(2)由Langrage中值定理
,在与之间估计,从而得待证不等式.
例5 设在内可导,且与存在,证明.
证明 在上满足Langrage中值定理的条件,故有
,,
所以
.
三.Cauchy中值定理
Cauchy中值定理 如果函数与在在连续,在内可导.且在内不为零,则存在,使得
.
例6 设与是可导函数,且当时,,证明当时,有
.
证明 (分析:由知
显然与满足Cauchy中值定理的条件,所以存在,有
,.
即
.
又,所以,且,故
.
注意 从例6可以看出,在证明关于两个函数之间的不等式或关系时,往往用Cauchy中值定理.