第六节 极限的四则运算一,运算法则定理 1 设 则注意,(1)运用该公式时 与 的极限必须同时存在,否则出现错误,
如 但是错误的,虽然结论是正确的
(2)该结论可推广到有限个函数的情形,即
,)(lim,)(lim BxgAxf
).(lim)(lim)]()(l i m [ xgxfBAxgxf
)(xf )(xg
,l im,l im xe xxx )(limlim)(lim xexe xxxxx
).(l i m)(l i m)(l i m)]()()(l i m [ 2121 xfxfxfxfxfxf mm
定理 2 设 则注意,(1)也必须注意定理的条件,如是错误的,虽然结论是正确的,
是错误的,结论为
,)(lim,)(lim BxgAxf
).(lim)(lim)]()(l i m [ xgxfBAxgxf
01s i nl i ml i m1s i nl i m 000 xxxx xxx
001limlimlim xexe xxx
x
x
.lim xe
x
x
注意,
(2)该结论也可推广到有限个函数的情形,
即
(3)特殊情形,
)(lim)(lim)(lim)]()()(l i m [ 2121 xfxfxfxfxfxf mm
),(lim)](l i m [ xfCxCf,)]([ l i m)](l i m [ nn xfxf?
定理 3 设 则注意,定理的条件,否则出现错误,如是错误的,事实上是错误的,事实上,当 时,是无界函数,
而不是无穷大,
由于数列极限是函数极限的特殊情形,故以上的运算法则对数列极限也是成立的,
,0)(lim,)(lim BxgAxf
.)(lim )(lim)( )(lim xg xfBAxg xf
0?B
0
s inlim
lim
s inlims in
lim 0
0
0
0
x
x
x
x
x x
x
x
x
.1sinlim0 x xx
0
s inlim
1lim
s inlim
1
s inlims inlim x
x
x
x
xxx x
x
x
xx
x xxsin
二,例题现在运用极限的运算法则可求一些简单函数的极限,
1.有理函数的极限
(1)有理整函数的极限设 则 ),0(,)( 0111 nnnnnn aaxaxaxaxP?
).()(l i m 0
0
xPxP nnxx
(2)有理分函数 的极限,
则由于 由商的极限知
)(
)()(
xQ
xPxf
m
n?
0,)( 0111 mmmmmm bbxbxbxbxQ?
.)( )(l i m)(l i m
00 xQ
xPxf
m
n
xxxx
),()(li m 0
0
xPxP nnxx ),()(l im 0
0
xQxQ mmxx
(i) 当 时,
(ii) 当 时,
(iii)当 时,先分解因式,约去极限为零的公因子,再根据 (i),(ii)两种情形求极限,
0)( 0?xQ m,
)(
)(
)(
)(li m)(li m
0
0
00 xQ
xP
xQ
xPxf
m
n
m
n
xxxx
0)(,0)( 00 xQxP mn
,0)( )()( )(lim
0
0
0 xP
xQ
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m
n
m
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0
xQ
xP
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n
xx
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例 1
例 2 (因为 )
.6131l i m93l i m 323 xxx xx
,45 32lim 2
1
xx
x
x 032
45lim 2
1
x
xx
x
(3)
(a)当 时
.)( )(lim)(lim xQ xPxf
m
n
xx
nm?
)(
)(l im)(l im
xQ
xPxf
m
n
xx
01
1
1
01
1
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bxbxbxb
axaxaxa
m
m
m
m
n
n
n
n
x
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01
01
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n
m
m
m
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x
b
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b
b
x
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x
a
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(b) 当 时nm?
)(
)(l im)(l im
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m
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01
1
1
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1
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m
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n
n
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n
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(c) 当 时,由 (2)有综上有,
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,0)( )(lim xP xQ
n
m
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)(li m
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m
n
x
.,
,,
,,0
)(
)(
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mn
mn
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m
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2.杂例例例例例
.01s inlim
3 2
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.
2
1
111
1lim
1
lim)1(lim?
n
nn
nnnn
nnn
.333lim)3(lim]3 )12(31[lim
2
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.3
10
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3
2
(
3)
3
2
(2
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32
32
li m
1
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n
例例由以上知 不存在,
例例
.
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x
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1
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xx
xxxx
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.2111l im1 21l im)1211(l im 12121 xxxxx xxx
三,极限的比较定理定理 如果 则证明,又所以
),()( xx ).(lim)(lim xx
,0)()( xx
,0)(lim)(lim)]()(l i m [ xxxx
).(lim)(lim xx
四,复合函数的极限定理 设 且 又则
(在定理中,将 或而把 换成 结论仍成立 ),
,)(lim
0
axxx ),(,0)( 0
0 xUxx
Aufau )(lim
)()]([lim 0 xuxx xf,)(lim Auf
au
,)(lim
0
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Aufau )(lim Aufu )(lim
例例因为 且所以原式等于零,
例
.3)1(lim1lim
1
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1
4
1
2
1
tttt tt
x
xx
tt
xt
x
2
1s in
2
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,121c o s xx
0s i nlim
)1(2
1s i nlim
2
1s i nlim
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1
u
xx
xx
u
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2
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3
1
1
30
6
t
tt
t
t
x
x
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x
本节的学习到此结束
如 但是错误的,虽然结论是正确的
(2)该结论可推广到有限个函数的情形,即
,)(lim,)(lim BxgAxf
).(lim)(lim)]()(l i m [ xgxfBAxgxf
)(xf )(xg
,l im,l im xe xxx )(limlim)(lim xexe xxxxx
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定理 2 设 则注意,(1)也必须注意定理的条件,如是错误的,虽然结论是正确的,
是错误的,结论为
,)(lim,)(lim BxgAxf
).(lim)(lim)]()(l i m [ xgxfBAxgxf
01s i nl i ml i m1s i nl i m 000 xxxx xxx
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注意,
(2)该结论也可推广到有限个函数的情形,
即
(3)特殊情形,
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),(lim)](l i m [ xfCxCf,)]([ l i m)](l i m [ nn xfxf?
定理 3 设 则注意,定理的条件,否则出现错误,如是错误的,事实上是错误的,事实上,当 时,是无界函数,
而不是无穷大,
由于数列极限是函数极限的特殊情形,故以上的运算法则对数列极限也是成立的,
,0)(lim,)(lim BxgAxf
.)(lim )(lim)( )(lim xg xfBAxg xf
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二,例题现在运用极限的运算法则可求一些简单函数的极限,
1.有理函数的极限
(1)有理整函数的极限设 则 ),0(,)( 0111 nnnnnn aaxaxaxaxP?
).()(l i m 0
0
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(2)有理分函数 的极限,
则由于 由商的极限知
)(
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0,)( 0111 mmmmmm bbxbxbxbxQ?
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(i) 当 时,
(ii) 当 时,
(iii)当 时,先分解因式,约去极限为零的公因子,再根据 (i),(ii)两种情形求极限,
0)( 0?xQ m,
)(
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例 2 (因为 )
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(a)当 时
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例例由以上知 不存在,
例例
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三,极限的比较定理定理 如果 则证明,又所以
),()( xx ).(lim)(lim xx
,0)()( xx
,0)(lim)(lim)]()(l i m [ xxxx
).(lim)(lim xx
四,复合函数的极限定理 设 且 又则
(在定理中,将 或而把 换成 结论仍成立 ),
,)(lim
0
axxx ),(,0)( 0
0 xUxx
Aufau )(lim
)()]([lim 0 xuxx xf,)(lim Auf
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例例因为 且所以原式等于零,
例
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本节的学习到此结束
