第五节 无穷小与无穷大
一,无穷小
1.定义如果在自变量 的某一变化过程中,的极限为零,则称 在自变量 的变化过程中为无穷小,由此
x )(xf
)(xf x
定义,设 在 （或 ）时有定义,
（ 或 ）,当 （或 ）
时,有则称 当 时为无穷小,记作如 则 当 时为无穷小,
则 当 时为无穷小,
)(xf )( 00 xU Mx?
0,0 00 xx
,)(xf
0?X Mx?
)(xf )(0 xxx 或
)).0)(lim(0)(lim
0
xfxf xxx 或
,01s inlim0 xxx
xx
1sin 0?x
,0sinlim x xx xxsinx
注意,区别无穷小与很小的数,无穷小是函数当 (或 )时与数 0无限接近,的函数值可能等于 0也可能不等于 0;很小的数是一个确定的数,它不能小于任意给定的正数
2.无穷小与极限的关系定理,其中
)(xf
0xxx )(xf
.?
),()()(l i m
)( 0
xAxfAxf
x xx
.0)(lim
)( 0
x
x xx
3.无穷小的性质
性质 1 有限个无穷小的和还是无穷小,
证明,设 即当 时,有当 时,有取 则当 时,有
,0)(lim,0)(lim
00
xx xxxx,0
,01 100 xx ;2
,02 200 xx,2
},,m i n { 21 00 xx
.22
性质 2 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小,
如 则证明,设 在 内有界,即则当 时,有取 则当 时,有
,11s in,0l im
0
x
x
x
.01s inlim0 xxx
)(xf ),( 100?xU ),,(,)( 100?xUxMxf
,0)(lim
0
xgxx,0,0 2M
200 xx,)( Mxg
},,m in { 21,0 0 xx
.)()()()( MMxgxfxgxf
由性质 2可得
(1)常数与无穷小的乘积还是无穷小,
(2)有限个无穷小的乘积还是无穷小,
但请注意,
(1)无限个无穷小的和不一定是无穷小,
(2)无限个无穷小的乘积不一定是无穷小,
二,无穷大
1.定义如果当 时,可以无限增大,
则称 当 时为无穷大,即定义 设 在 时有定义,
当 时有则称 当 时为无穷大,记作
)(0 xxx 或 )(xf
)(xf )(
0 xxx 或
)(xf ))(( 00 MxxU?或
，或 )0(0,0 XM?,或 )(0 0 Xxxx
.)( Mxf? )(xf )(0 xxx 或
.)(lim
)( 0
xf
x xx
注,(1)区别无穷大和很大的数,
(2)无穷大并不表示函数的极限存在,仅表示函数的性态 (或变化趋势 ).
(3)若 改为 则称时为正无穷大,记作若 改为 则称时为负无穷大,记作
Mxf?)(,)( Mxf? )(xf
)(0 xxx 或,)(lim
)( 0
xf
x xx
Mxf?)(,)( Mxf )(xf
)(0 xxx 或
.)(lim
)( 0
xf
x xx
(4) 则 在 时为无界函数 ;但反之不然,
如 在 内无界（取 则但 当 时不是无穷大（取 则 ）,
(5)几何上,表示直线 是曲线的铅直渐进线,
,)(lim
)( 0
xf
x xx
)(xf ))(( 00 MxxU?或
xxxf s in)(? ),(,
2
kx
k?
),,)( kKkxf xxxf s in)(x
,?kx k? 0)(?xf
)(lim
0
xfxx 0xx?
)(xfy?
(6) 令 则
2.无穷大与无穷小的关系当 时,即无穷大的倒数是无穷小,无穷小的倒数是无穷大,
,0lim,lim xxxx ee,1tx?
.0lim,lim
1
0
1
0
t
t
t
t
ee
0)(?xf,
)(
1lim0)(lim
xfxf
本节的学习到此结束
一,无穷小
1.定义如果在自变量 的某一变化过程中,的极限为零,则称 在自变量 的变化过程中为无穷小,由此
x )(xf
)(xf x
定义,设 在 （或 ）时有定义,
（ 或 ）,当 （或 ）
时,有则称 当 时为无穷小,记作如 则 当 时为无穷小,
则 当 时为无穷小,
)(xf )( 00 xU Mx?
0,0 00 xx
,)(xf
0?X Mx?
)(xf )(0 xxx 或
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0
xfxf xxx 或
,01s inlim0 xxx
xx
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,0sinlim x xx xxsinx
注意,区别无穷小与很小的数,无穷小是函数当 (或 )时与数 0无限接近,的函数值可能等于 0也可能不等于 0;很小的数是一个确定的数,它不能小于任意给定的正数
2.无穷小与极限的关系定理,其中
)(xf
0xxx )(xf
.?
),()()(l i m
)( 0
xAxfAxf
x xx
.0)(lim
)( 0
x
x xx
3.无穷小的性质
性质 1 有限个无穷小的和还是无穷小,
证明,设 即当 时,有当 时,有取 则当 时,有
,0)(lim,0)(lim
00
xx xxxx,0
,01 100 xx ;2
,02 200 xx,2
},,m i n { 21 00 xx
.22
性质 2 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小,
如 则证明,设 在 内有界,即则当 时,有取 则当 时,有
,11s in,0l im
0
x
x
x
.01s inlim0 xxx
)(xf ),( 100?xU ),,(,)( 100?xUxMxf
,0)(lim
0
xgxx,0,0 2M
200 xx,)( Mxg
},,m in { 21,0 0 xx
.)()()()( MMxgxfxgxf
由性质 2可得
(1)常数与无穷小的乘积还是无穷小,
(2)有限个无穷小的乘积还是无穷小,
但请注意,
(1)无限个无穷小的和不一定是无穷小,
(2)无限个无穷小的乘积不一定是无穷小,
二,无穷大
1.定义如果当 时,可以无限增大,
则称 当 时为无穷大,即定义 设 在 时有定义,
当 时有则称 当 时为无穷大,记作
)(0 xxx 或 )(xf
)(xf )(
0 xxx 或
)(xf ))(( 00 MxxU?或
，或 )0(0,0 XM?,或 )(0 0 Xxxx
.)( Mxf? )(xf )(0 xxx 或
.)(lim
)( 0
xf
x xx
注,(1)区别无穷大和很大的数,
(2)无穷大并不表示函数的极限存在,仅表示函数的性态 (或变化趋势 ).
(3)若 改为 则称时为正无穷大,记作若 改为 则称时为负无穷大,记作
Mxf?)(,)( Mxf? )(xf
)(0 xxx 或,)(lim
)( 0
xf
x xx
Mxf?)(,)( Mxf )(xf
)(0 xxx 或
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(4) 则 在 时为无界函数 ;但反之不然,
如 在 内无界（取 则但 当 时不是无穷大（取 则 ）,
(5)几何上,表示直线 是曲线的铅直渐进线,
,)(lim
)( 0
xf
x xx
)(xf ))(( 00 MxxU?或
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2
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(6) 令 则
2.无穷大与无穷小的关系当 时,即无穷大的倒数是无穷小,无穷小的倒数是无穷大,
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1
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t
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