定积分 5
一．内容提要
1．定积分的概念定义 设 在 上有界,若存在,且与 的分法及 在第 个区间上的取法无关,,则称极限值为 在 上的定积分,记作,
即
)(xf ],[ ba?
n
i
ii xf
10
)(li m?
],[ ba i? i ],[ 1 ii xx?
},,m a x { 1 nxx
)(xf ],[ ba?b
a dxxf )(
.)(lim)(
10
n
i
ii
b
a xfdxxf
定积分是一个数,只与积分区间及被积函数 有关,与积分变量有用什么字母表示无关,
当 在 上连续,或在 上有界且只有有限个第一类间断点是,在 上可积,
定积分作为一种特殊的和式极限,是运用极限思想解决实际问题的一种模式,
因而有明确的几何意义和物理意义,
)(xf
],[ ba
)(xf
)(xf
],[ ba
],[ ba],[ ba
2．定积分的性质
（ 1） （ 2）
（ 3）
（ 为常数,对有限多个函数也适用）
（ 4）
（无论 相对位置如何也适用）
（ 5）若在 上恒有,则
21,kk
cba,,
aa dxxf 0)( abba dxxfdxxf )()(
bababa dxxfkdxxfkdxxfkxfk )()()]()([ 22112211
bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(
)()( xgxf?],[ ba
baba dxxgdxxf )()( ).( ba?
注意,若 在 上均连续,
,则
（ 6）
（ 7）设 分别为 在 上的最大值和最小值，则
).( ba?
).( ba?
)(),( xgxf ],[ ba
)()(),()( xgxfxgxf
baba dxxgdxxf )()(
baba dxxfdxxf |)(||)(|
)()()( abMdxxfabm ba
Mm,)(xf ],[ ba
).( ba?
（ 8）积分中值定理,若 在 上均连续,则要求能利用性质比较两个定积分的大小,判断定积分的符号,估计定积分的值,利用定积分的中值定理求函数在闭区间上的平均值,利用性质简化定积分的计算并证明一些不等式,
))(()( abfdxxfba
)(xf ],[ ba
).( ba
3．积分上限函数及其导数设 在 上均连续,,则称为变上限定积分或积分上限的函数,
记为,则,也即是 的一个原函数,该结论表明连续函数的原函数一定存在,
)(xf ],[ ba ],[ bax?
xa dxxf )(
)(x? )()( xfx x
a dxxfx )()(
)(xf
注意弄清 中 与 的意义,表示积分上限变量在 上变化,表示积分变量在 上变化,
一般地更一般地要求熟练掌握变上限定积分函数及求导公式,利用洛比达法则或积分中值定理会求变上限定积分的极限,会讨论变上限定积分的单调区间,极值和最值,
)(,)( bxadxxfxa
],[ xa
],[ ba
x t x
t
)())(())(( )( xxfdttfxa
))(()())(())(( 122)( )(2
1
xfxxfdttfxx
4．定积分的计算
⑴ 微积分基本定理 牛顿 — 莱布尼兹公式若 是连续函数 在 上的任一原函数，
则注意,条件 在 上连续也可减弱为在 上可积。
)(xf ],[ ba)(xF
.)()()()( aFbFxFdxxf baba
)(xf ],[ ba )(xf
],[ ba
⑵ 换元法注意：
① 在 单调具有连续导数,且当 时,对应
②换元法一定要换限,换限的依据是变换式,与不定积分换元法的区别,
dtttftxdxxfba )())(()()( 令
)(tx ],[t
bax,? ;,t
⑶ 分步积分法
(难积 ) (易积 )
⑷ 几个常用的积分公式常可以简化定积分的计算,
①
②
ba baba v d uuvudv
a a dxxafdxxf0 0 )()(
a a a dxxfxfdxxf 0 )]()([)(
③ 奇偶函数在关于原点对称的区间上的积分,
④ 是以 为周期的连续函数,则
⑤
⑥
⑦
,0)(aa dx奇函数,)(2)( 0a a a dxdx 偶函数偶函数
)(xf T
Taa T dxxfdxxf 0 )()(
0 0 )( s i n2)( s i n dxxfdxxxf
20 20 )( c o s)( s i n dxxfdxxf
2
0
2
0
1
3
2
2
31
22
1
4
3
2
31
c o ss in
n
n
n
n
n
n
n
n
x d xx d x nn
为正奇数为正偶数
n
n )1(?n
5．广义积分
⑴ 无穷区间上的广义积分,设 在上连续,取,若 存在,则称收敛 ;若 收敛,
则其中 为 在 上的任一原函数，
且类似有广义积分收敛,且
),[a)(xf
ab
b
ab dxxf )(lim
baba dxxfdxxf )(lim)(a dxxf )(
.)()()()( aFFxFdxxf aa
).(li m)( xFF x
)(xF )(xf ),[a
babb dxxfdxxf )(l i m)(
其中 为 在 上的任一原函数,
且当右边两个广义积分均收敛时,也称广义积分 收敛,且其中若上述某极限不存在,则称对应的广义积分发散,
b b FbFxFdxxf )()()()(
],( b)(xF )(xf
).(li m)( xFF x
aa dxxfdxxfdxxf )()()(
dxxf )(
)()()()( FFxFdxxf
),(l i m)( xFF x ).(li m)( xFF
x
⑵ 积分（无界函数的广义积分）
设 在 上连续,在点 的右邻域内无界，
定义设 在 上连续,在点 的左邻域内无界，
定义设 在 及 上连续,在点 的邻域内无界,定义注意,是相互独立的,
若定义中极限存在,则广义积分收敛,否则广义积分发散,
)(xf ],( ba a
.)(l i m)( 0 baba dxxfdxxf
),[ ba)(xf b
.)(l i m)( 0 baba dxxfdxxf
),[ ca ],( bc)(xf c
.)(l i m)(l i m)( 00 bccaba dxxfdxxfdxxf
,
基本要求,
1,理解定积分的概念及性质 ;
2,熟练掌握定积分的换元法及分部积分法 ;
3,理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导公式,熟悉牛顿 — 莱布尼兹公式 ;
4．了解广义积分的概念,
本节的学习到此结束
一．内容提要
1．定积分的概念定义 设 在 上有界,若存在,且与 的分法及 在第 个区间上的取法无关,,则称极限值为 在 上的定积分,记作,
即
)(xf ],[ ba?
n
i
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10
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定积分是一个数,只与积分区间及被积函数 有关,与积分变量有用什么字母表示无关,
当 在 上连续,或在 上有界且只有有限个第一类间断点是,在 上可积,
定积分作为一种特殊的和式极限,是运用极限思想解决实际问题的一种模式,
因而有明确的几何意义和物理意义,
)(xf
],[ ba
)(xf
)(xf
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2．定积分的性质
（ 1） （ 2）
（ 3）
（ 为常数,对有限多个函数也适用）
（ 4）
（无论 相对位置如何也适用）
（ 5）若在 上恒有,则
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aa dxxf 0)( abba dxxfdxxf )()(
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注意,若 在 上均连续,
,则
（ 6）
（ 7）设 分别为 在 上的最大值和最小值，则
).( ba?
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baba dxxfdxxf |)(||)(|
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（ 8）积分中值定理,若 在 上均连续,则要求能利用性质比较两个定积分的大小,判断定积分的符号,估计定积分的值,利用定积分的中值定理求函数在闭区间上的平均值,利用性质简化定积分的计算并证明一些不等式,
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3．积分上限函数及其导数设 在 上均连续,,则称为变上限定积分或积分上限的函数,
记为,则,也即是 的一个原函数,该结论表明连续函数的原函数一定存在,
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注意弄清 中 与 的意义,表示积分上限变量在 上变化,表示积分变量在 上变化,
一般地更一般地要求熟练掌握变上限定积分函数及求导公式,利用洛比达法则或积分中值定理会求变上限定积分的极限,会讨论变上限定积分的单调区间,极值和最值,
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1
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4．定积分的计算
⑴ 微积分基本定理 牛顿 — 莱布尼兹公式若 是连续函数 在 上的任一原函数，
则注意,条件 在 上连续也可减弱为在 上可积。
)(xf ],[ ba)(xF
.)()()()( aFbFxFdxxf baba
)(xf ],[ ba )(xf
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⑵ 换元法注意：
① 在 单调具有连续导数,且当 时,对应
②换元法一定要换限,换限的依据是变换式,与不定积分换元法的区别,
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)(tx ],[t
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⑶ 分步积分法
(难积 ) (易积 )
⑷ 几个常用的积分公式常可以简化定积分的计算,
①
②
ba baba v d uuvudv
a a dxxafdxxf0 0 )()(
a a a dxxfxfdxxf 0 )]()([)(
③ 奇偶函数在关于原点对称的区间上的积分,
④ 是以 为周期的连续函数,则
⑤
⑥
⑦
,0)(aa dx奇函数,)(2)( 0a a a dxdx 偶函数偶函数
)(xf T
Taa T dxxfdxxf 0 )()(
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为正奇数为正偶数
n
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5．广义积分
⑴ 无穷区间上的广义积分,设 在上连续,取,若 存在,则称收敛 ;若 收敛,
则其中 为 在 上的任一原函数，
且类似有广义积分收敛,且
),[a)(xf
ab
b
ab dxxf )(lim
baba dxxfdxxf )(lim)(a dxxf )(
.)()()()( aFFxFdxxf aa
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其中 为 在 上的任一原函数,
且当右边两个广义积分均收敛时,也称广义积分 收敛,且其中若上述某极限不存在,则称对应的广义积分发散,
b b FbFxFdxxf )()()()(
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x
⑵ 积分（无界函数的广义积分）
设 在 上连续,在点 的右邻域内无界，
定义设 在 上连续,在点 的左邻域内无界，
定义设 在 及 上连续,在点 的邻域内无界,定义注意,是相互独立的,
若定义中极限存在,则广义积分收敛,否则广义积分发散,
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基本要求,
1,理解定积分的概念及性质 ;
2,熟练掌握定积分的换元法及分部积分法 ;
3,理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导公式,熟悉牛顿 — 莱布尼兹公式 ;
4．了解广义积分的概念,
本节的学习到此结束
