第一节 不定积分
一,内容提要
1.原函数与不定积分的概念若对区间 上的任一,均有,则称为 的一个原函数,函数的全体原函数称为在区间上的不定积分,记为
I x )()( xfxF
)(xF )(xf
.)(? dxxf
.)()( CxFdxxf )()( xfxF
1.不定积分的性质
⑴ 或
⑵ 或说明微分运算与积分运算的互逆关系,
⑶ ( 为不等于零的常数 ).
⑷
（有限多个也适用）
)(])([ xfdxxf,)(])([ dxxfdxxfd
Cxfdxxf )()(,)()( Cxfdxxdf
,)()( dxxfkdxxkf k
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
3．基本积分公式 ----要熟记,
4.求不定积分方法
(1).直接积分法,直接或将被积函数恒等变换后利用基本积分公式和不定积分的性质求不定积分
(2).第一类换元法 (凑微分法 )
（难积） （易积）
用凑微分法求积分,关键是将表示成,此时 与 凑成 的微分,且 的原函数比较容易求得,
所以用凑微分解题要熟悉一些函数的微分形式,
duufxuxdxfdxxxfdxxg )()()())(()())(()(
CxFCuF ))(()(?
dxxg )( )(xg
)())(( xxf )(x dx u
))(( xudu )(uf
(3).第二类换元法 (代换法或变量置换法 )
（难积） （易积）
用代换法求,关键是作一适当的代换,使得 的原函数易,
常见的有三角代换 (消去根号 ),倒代换常用来消去被积函数的分母中的因子
CxGCtGdttgdtttftxdxxf ))(()()()())(()()( 1令
dxxf )(
)(tx )())(( ttf
,1tx?,x
(4).分部积分法
（难积） （易积）
关键是 的选取,原则上要求用分部积分公式后的积分比原积分简单易求,常会出现还原的情况,通过移项得到或得到递推公式,通常应用分部积分的形式,
v d uuvudv
dvu,
,)(? dxxP e xk,s i n)(? xd xxP k,c o s)(? xd xxP k
,ln)(? xdxxP k,a r c s i n)(? xd xxP kx d xxP k a r c c o s)(
(5).几种特殊类型函数的积分的求法
a）,关键在于用待定系数法或拼凑法,把有理分式分成部分分式之和,通常首先考虑拼凑法,
注意,有理函数的原函数都是初等函数,
b),用万能代换（半角代换）
可化为有理函数的积分,但这不是最简单的方法,常利用三角恒等变形,换元法或分部积分法求,
dx有理函数）(
dx三角有理函数）(
c),将某个根式全作为新积分变量,化为有理函数的积分,计算结果,
几个常见的不能用初等函数表示的不定积分,
等,
本章重点是原函数与不定积分的概念,熟记基本积分公式,熟练掌握不定积分的第一、二类换元法和分部积分法,
dx某些无理函数）(
,sin? dxx x,cos? dxx x,? dxxe
x,2 dxe x
,ln1? dxx? dx
x
xa rc t a n
例题
1.下列等式中正确的是（ ）,
(A),(B)
(C),(D),
解 选 (D),
(A)错,
(B)错,
(C)错,
)())(( xfdxxfd dxxfdxxfdxd )(])([
)()( xfxdf Cxfdxxf )()(
.)())(( dxxfdxxfd
.)(])([ xfdxxfdxd
.)()( Cxfxdf
2.设 的一个原函数为,则 （ ）,
(A),(B),(C),(D),
解,选 (C).由原函数与导函数的关系,得则
(B)错,错认为
)(xf xln?)(xf
x
1 Cxxxln
2
1
x?
xe
,1)( l n)( xxxf,1)( 2xxf
.)1( l nln)( Cxxx d xxf
3.若,且,
则 （ ）,
(A),(B).
(C),(D).
解：选（ D）,
(B)错,
(C)错,
CxFdxxf )()( )0( abatx
dttf )(
CxF?)( CbatF )(
CbatFa )(1 CtF?)(
)()()())(( tfbatafabatFCbatFdtd
)()()(1))(1( tfbatfabatFaCbatFadtd
4.若 且,则 （ ）,
(A),(B),(C),(D)
解 选 (C).令,则,
而 由,
知,所以
(B)错,令,误认为,由得,于是,
所以,由,
得,所以
)0(1)( 2 xxxf 2)1(?f?)(xf
x2 2ln
2
1?x x2
x
1
tx?,)( ttf
,21)()( Cxdxxdxxfxf
.2)( xxf?0?c
2)1(?f
2xt? xtf
dx
dttfxf 2)()()( 2
,1)( 2 xxf xxtf 12)( txtf 212 1)( 2
Cxdxxdxxfxf ln212 1)()( 2)1(?f
2?C,2ln21)( xxf
5.设 的一个原函数为,则 （ ）,
(A),(B).
(C),(D),
解 选 (A).因为,所以,
)(xf dxxfx )(xsin
Cxxx s i nc o s
Cxxx s i nc o s
Cxxx c o ss i n
Cxxx c o ss i n
Cxdxxf s i n)( xxf c o s)(?
dxxfxxfxx d fdxxfx )()()()(
.s inc o s Cxxx
⒍ （ ）,
(A),(B).
(C),(D),
解 选 (C),
dxxfx )(
dxxfxfx )()( Cxfxfx )()(
Cxfxfx )()( Cxfxfx )()(
)()()()( xfxfxxfxddxxfx
.)()( Cxfxfx
7,的原函数是（ ）,
(A),(B).
(C),(D),
解 选 (B),
因为
)ln1( xx x?
Cxxx x ln1 1 1 Cxx?
Ccx?ln Cxx x?ln
2
1
).ln1()()( ln xxx xxxx e
例 1,
思路,,所以原式同理求
.c o ss i n s i n dxxx x
xxxx s i nc o s)c o s( s i n
dxxx xxxx c o ss i n c o ss i nc o ss i n21
dxxx xx )c o ss i n s i nc o s1(21
.|c o ss i n|ln(21 Cxxx
.c o ss i n c o s dxxx x
例 2,
思路,
(1).,原式
(2).,原式
dxxbxa xx 2222 c o ss i n c o ss i n
.c o ss i n)(2)c o ss i n( 222222 xxbaxbxa
22 ba?
xbxa xbxadba 2222
2222
22 c o ss i n
)c o ss i n(
)(2
1
Cxbxaba 222222 c o ss i n1
22 ba?,
||2
2s in
||
c o ss in C
a
xdx
a
xx
例 3,
方法 1 原式方法 2 原式
dxxx 3c o ss i n 1
dxxxdxdxxxdxxx xx c o ss inc o ss inc o ss in c o ss in 33 22
.|2c o t2c s c|ln21c o s2 12c s cc o sc o s 23 Cxxxx d xxxd
323232 )1(c o sc o s)c o s1( c o sc o ss i n s i n uuduuxxx xdxx x d x 令
Cuuuduuuuu 2232 21|1|ln21||ln)111(
.|t a n|lnc o s2 1|c o sc o s1|lnc o s2 1 2
2
2 CxxCx
x
x
方法 3 原式注意,
不同方法表面上看得到不同原函数,但它们一定差一个常数,
xdxxx d xx t a nt a n 1t a ns e ct a n1
2
4
Cxxxdxx |t a n|lnt a n21t a n)t a n1( t a n 2
例 4,型积分,
(1),至少有一个奇数
(2),均为偶数 (倍角公式降次数 )
xd xx nm c o ss i n
nm,
xdxxxxdxx d xx s i n)s i n1(s i ns i nc o ss i nc o ss i n 231231331
CxxCttdttttx 3103431034231 )( s i n10 3)( s i n4310 343)1(s i n令
nm,
dxxxx d xx 2 2c o s1)2( s i n41c o ss in 242
x d xxdxx 2c o s)2( s i n8116 4c o s1 2
.)2( s i n4814s i n641161 3 Cxxx
例 5,
( 常数 )
高中积化差公式再记忆一求解,
,c o ss i n? n xd xmx,s i ns i n? n xd xmx? n xd xmx c o sc o s
nm,
例 6,
方法 1 原式方法 2 原式
dxxx 3 23 1
)1(1]1)1[(21)1(121 23 2223 22 xdxxxdxx
)1()1(21)1()1(21 23
1
223
4
2 xdxxdx
Cxx 3
4
23
7
2 )1(
8
3)1(
14
3
3
4
2223 22 )1(
4
3
2
1)1(1
2
1 xdxxdxx
Cxxxx d xxxx 3
7
23
4
223
4
23
4
22 )1(
7
3
8
3)1(
8
3)1(2
8
3)1(
8
3
.)1(569)1(83 3
7
23
4
22 Cxxx
例 7,
方法 1 原式方法 2 原式方法 3 原式
12xx dx
.
1
a r c s i n
)
1
(1
1
1
1 2
2
2
C
x
x
x
d
x
x
dx
122
2
22
)1(
2
1
1 xx
xd
xx
x d x
1)1(1 1 222 xdx
.1a r c t a n 2 Cx
.1a r c c o st a ns e c t a ns e cs e c CxCtdttt tttx令例 8,
解 令,得原式注意,倒代换是一个常用的有效的代换,
常用来消去被积函数的分母中的因子
.
12 xxx
dx
ux?1
22
2
)
2
3()
2
1(1 u
du
uu
du
Cuuu 1)21(|ln 2
.|1211|ln
2
Cx xxx
.x
例 9,
思路,熟悉公式原式
.)( ln2 ln1 22 dxxx x
.ln1)ln( xxx
.2lna r c t a n21)ln(2 )ln( 2 Cxxdxxx xxd
例 10,
思路,
所以原式
.
)1(
ln
2
3
2
dx
x
xx
,
)1(
])1[(
2
3
2
2
1
2
x
xx
.)1(
)1(
2
1
2
2
3
2
xddx
x
x
1)1(
ln)1(ln
2
2
1
2
2
1
2
xx
dx
x
xxxd
.1a r c s in
)1(
ln
2
1
2
Cx
x
x
注意,熟悉公式
………
类似于下面的积分就比较容易求得
,1
1
2
2
xddx
x
x
,1
1
2
2
xddx
x
x
2
1
2
2
3
2
)1(
)1(
xd
x
x d x
,
1
)11l n (
2
2
dxx xx,
)1(
ln
2
3
2
dx
x
xx,
1
a r c s in)1(
2
dx
x
xx
例 11,
思路,熟悉公式方法 1 原式方法 2 原式注意,方法 2中二个不定积分,抵消,不应忘了常数,用类似的方法求
.)1( 2 dxxxe
x
),11()1( 1 2 xddxx ).1 1()1( 1 2 xddxx
dxxexxxexdxe xxx )1(1 11)11(
.111 CxeCexxedxexxe xxxxx
dxxedxxedxx eexe xxxxx 22 )1(1)1(
Cxedxxexedxxexdedxxe xxxxxx 11111 11
C,)s e c( t a n 2 dxexx x
例 12,
是有理函数积分,用待定系数法做较繁,由于有因式,可以作变换原式类似地,求 令
.)4( 22
4
dxx x
)4( 2?x,tan2 tx?
dtttdttttd ttt )c o s2( s e c2s e c )1( s e c2s e c2s e c16 t a n16 224 22244
Cttttdtttt )4 2s in2(2)2( ta n22 2c o s12)2( ta n2
Cx xxxCtttt 422a r c t a n3c o ss in3t a n2 2
,)1( 62
9?
dxx
x,sin tx?
例 13,
方法 1 原式对于,令,
得所以原式
.
2
dx
e
xe
x
x
.222222 dxeexexd xxx
dxe x 2 )2l n (,2 2txte x
dtttdxe x 22222
CeeCtt
x
x
2
2a r c t a n2222
2a r c t a n2
42
.
2
2a r c t a n242422 2 Ceeex xx
方法 2 令,则原式
ue x 2
duuuuuduu 2222 2 22)2ln (2)2ln (2
Cuuuu )2a r c t a n22(4)2ln (2 2
.2 2a r c t a n242422 Ceeex
x
xx
例 14.求分段函数的积分,
设 求解 去掉绝对值符号,分段计算,
当当当
|,|1
,1)( 2
x
xxf
.1||
,1||
x
x,)(? dxxf
,1||?x ;
3)1()( 1
3
2 Cxxdxxdxxf;2)1()( 2
2
Cxxdxxdxxf
.2)1()( 3
2
Cxxdxxdxxf
,1?x
,1x
依据在分段点处的连续性,求出各段内原函数中任意常数关系当当当当得所以;2112,1 33
2
CCxxx;323,1 113 CCxxx;212,1 222 CCxxx
.323,1 113 CCxxx
,61 13 CC,61 12 CC
.1,
6
1
2
1
,1,
6
1
2
1
,1,
3
1
1
2
1
2
1
3
xCxx
xCxx
xCxx
dxxf )(
例 15.设 是 的一个原函数,当时,
,且,又,求解,由,所以积分得即又,所以,从而,
所以
)(xF )(xf 0?x
0)(?xF 21 1)( )( xxF xf 1)0(?F ).(xf
)()( xfxF
21
1
)(
)(
xxF
xf
,1
1
)(
)(
2xxF
xF
,ln)1l n ()(ln 2 CxxxF
).1()( 2xxCxF
1)0(?F 1?C 21)( xxxF
.
1
1)()(
2x
xxFxf
例 16.设 由 确定,求解 令,得,
解得所以原式
)(xyy? xyxy 2)(,3 yx dx
tyx xyt?2
,12 t ty,12 3 t tx
,)1( )3( 22
22
dtt ttdx,1 )3(3 2
2
t
ttyx
.|1)(|ln21|1|ln211 222 CyxCtdtt t
习题一,选择题：
1.经过变量代换 （ ）,
(A),(B),
(C),(D),
2.下列等式正确的是（ ）,
(A),(B),
(C),(D).
dxxtx 21,t a n
tdtsec? tdt3sec
dttt21sec tdt3sec
)()( xFxdF )()( xdFxdF
)()( xFxFd )()( xdFxdFd
3.设,且,则 ( ),
(A),(B),
(C),(D).
4.如果 是 的一个原函数,则（ ）,
(A),(B),
(C),(D).
xxf 22 s i n)( co s 0)0(?f?)(xf
xx 2c o s21c o s?
2
2
1 xx?
xx 42 c o s21c o s?
2
2
1 xx?
)(xF )(xf
CxfdxxF )()(
CxFdxxf )()(
CxfdxxF )()(
CxFdxxf )()(
5.若,则 ( ).
(A),(B),
(C),(D).
6.设的一个原函数为 的一个原函数为,则 的一个原函数为（ ）,
(A),(B),
(C),(D).
CxFdxxf )()( dxefe xx )(
CeF x?)( CeF x )(
CeF x )( C
x
eF x )(
)(,c o s xgx
2x )]([ xgf
x2cos21
x2sin
2sin x? x2cos?
7.已知,则 （ ）,
(A),(B),
(C),(D).
8.设,则 （ ）,
(A),(B),
(C),(D).
)()( xfxFdxxf )2(
CxF?)2( CxF?)
2(
CxF?)2(21 CxF?)2(2
Cxxdxxf ln)( dxxxf )1( 2
)1l n ()1( 22 xx Cxx )1l n ()1(21 22
)1l n ()1(21 22 xx Cxx?ln
9,（ ）,
(A),(B),
(C),(D).
10.若 导数是,则 有原函数为
（ ）,
(A),(B),
(C),(D).
dxx ||
Cx?221
.0,
2
1
,0,
2
1
2
2
1
2
xCx
xCx
Cxx?|| Cxx?||
2
1
)(xf xsin )(xf
xsin1? xsin1?
xcos1? xcos1?
二,填空题,
1.设,且,则,
2.设 是 的一个原函数,则,
3.设,则,
4.,则,
2
2 )]([)(1
4 xf
dx
dxf
x
0)0(?f?)(xf
x
xsin dxxfx )()(xf
xexf)( dx
x
xf )(l n
Cxdxxf 2)1(dxxf )(
5.设,
则,
6.设 是 的一个原函数,
则,
7.设,
则,
Cxdxxf 12)( 2
dxxxf )12( 2
xsin )(xf
x xfxxfx )()(lim 0
Cedxefe xxx 21 1)(
dxefe xx )(2
8.,
9.设,则,
10.设,则,
dxxf )2(
xef x 1)(?)(xf
xxf c o s)(ln dx
xf
xfx
)(
)(
三,计算题,
1,2．
3,4.
5,6.
7,8.
.)ln1( dxxx x,
1
2s in
2si n dxe
x
x
.c o ss i n1 s i nc o s dxxx xx,s i n2s i n xxdx
.112 dxxx x,1
1?
dx
x
xx
.
2
dx
xx
dx,
136
5
2
dx
xx
x
9,10.
11,12.
13,14.
15,16.
.)1( ln 2 dxxx
.)1( 1 dxxex x x,4ln2ln? dxxx x
.
s in
2
c o s
3
4
dxx
xx
.a r c t a n3 xd xx
.a r c t a n1 2
2?
x d xx
x
.)1( 22
a r c t a n
dxxxe
x
.11ln1 1 2 dxxxx
17,18.
19,20.
21,22.
23.设,求
.)1( t a n 22 dxxe x,)1( t a n 22 dxxe x
.c o s1 s i n1 dxexx x,1 dxxx dx n
.|| dxe x dxx |)|,1m a x (
.1,
,10,1)( l n
xx
xxf 0)0(?f ).(xf
24.已知 的一个原函数为,
求
25.,求
26.设,且,求
27.设 在 上可导,,
,求
28.设 的原函数,且,
,求
xx ln)s i n1(?
.)( dxxfx
)(xf
Cedxxxf x)(,)(1? dxxf
2ln)1( 2
2
2
x
xxf xxf ln))((,)(? dxx?
),1[
23)1( 2 xx eef
0)1(?f)(xf
).(xf
0)(?xF
2)0(
F
xx eexFxf
1)()(
)(xf
).(xf
答案与提示
一,选择题,
1.(B) 2.(D) 3.(D) 4.(C) 5.(B)
6.(A) 7.(C) 8.(B) 9.(D) 10.(B)
二,填空题,
1,2.
3,4.
.11ln xx,
s i n2c o s
x
xxx?
.1 Cx?,2 Cx
5,6.
7,8.
9,10.
三,计算题
1.,提示,
2.,提示,
.1)12(241 22 Cx,sin x
.a r c t a n1 2 Ceee xx
x
,)2(21 Cxf?
.ln Cxx?,s inc o s Cxxx
Cxx? xxx ex ln?
Ce x )1l n ( 2s i n xx 2s i n)( s i n 2
3.,
提示,原式
4.,提示,令
5,
6,提示,
Cxx )c o sa r c t a n ( s i n2
dxxx xxd 2)c o s( s in1 )c o s( s in2
Cxx |2t a n3|ln32|2t a n|ln31 2tx?
2tan
.)1(32)12(31 2
3
2
3
Cxx
.a r c s i n211)12( 2 Cxxx
2
2
11
1
x
xx
x
xx
7.,提示,
8,
9.,提示,
10.,提示,
Cx )12a r c s i n (
2
2
)
2
1
(
4
1
)
2
1
(
x
xd
xx
dx
Cxxx 2 3a r c t a n4|136|ln21 2
Cxx 2)11( l n41 21 2)11( l n xxx
Cx xxx 1ln1ln
xddxx 1
1
)1(
1
2
11.,提示,
12.,提示,
令,
13.,提示,
14,
15,
Cxexe xx |1|ln||ln )1()( xexe xx
Cxx |ln2ln2|ln2lnln,
4ln
ln2ln
4ln
2ln
x
xxddx
xx
x?
.ln tx?
Cxxx 2c o t412c s c81 2,
)
2
( s in
1
8
1
s in
2
c o s
2
3
4
x
ddx
x
x
.21)11a r c t a n (21 2 Cxx
Cxxxx 22 )( a r c t a n21)1l n (21a r c t a n
16.,提示,令
17,
18,19,
20.,提示,
Cxxxe x )1 1(52 2
2
a r c t a n xt arctan?
Cxxxxxxx 223 21t a n|c o s|ln34)( t a n61)( t a n31
Cxe x?t a n2 Cxe x?
2t a n
Cxxn n
n
1ln1 )1(1
1
1 nn
n
n xx
x
xx
21,
22,
,0,2
,0,||
xCe
xCedxe
x
x
x
.1,
2
1
2
1
,11,
,1,
2
1
2
1
|)|,1m a x (
2
2
xCx
xCx
xCx
dxx
23,
24,
25,
dtttftxdxxfxf 1)( l nln)()(
.1,
,10,ln1
2
1
tCt
tCtdt
t
.0,
,0,
2
1
xCe
xCx
x
.0,1
,0,
)(,0)0(
xe
xx
xff x所以因为
Cxxxxxx ln)s i n1(c o slns i n1
Cxe x )1(
26.,
提示,令 求得
27.,提示,令
28,
Cxxdxx )1l n (2)(?
,12 tx ).(x?
)32)(1()( 2 xxxxf,1 te x
.112 2)( 2 x
x
x e
e
a r c ta b e
xf
本节的学习到此结束
一,内容提要
1.原函数与不定积分的概念若对区间 上的任一,均有,则称为 的一个原函数,函数的全体原函数称为在区间上的不定积分,记为
I x )()( xfxF
)(xF )(xf
.)(? dxxf
.)()( CxFdxxf )()( xfxF
1.不定积分的性质
⑴ 或
⑵ 或说明微分运算与积分运算的互逆关系,
⑶ ( 为不等于零的常数 ).
⑷
（有限多个也适用）
)(])([ xfdxxf,)(])([ dxxfdxxfd
Cxfdxxf )()(,)()( Cxfdxxdf
,)()( dxxfkdxxkf k
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
3．基本积分公式 ----要熟记,
4.求不定积分方法
(1).直接积分法,直接或将被积函数恒等变换后利用基本积分公式和不定积分的性质求不定积分
(2).第一类换元法 (凑微分法 )
（难积） （易积）
用凑微分法求积分,关键是将表示成,此时 与 凑成 的微分,且 的原函数比较容易求得,
所以用凑微分解题要熟悉一些函数的微分形式,
duufxuxdxfdxxxfdxxg )()()())(()())(()(
CxFCuF ))(()(?
dxxg )( )(xg
)())(( xxf )(x dx u
))(( xudu )(uf
(3).第二类换元法 (代换法或变量置换法 )
（难积） （易积）
用代换法求,关键是作一适当的代换,使得 的原函数易,
常见的有三角代换 (消去根号 ),倒代换常用来消去被积函数的分母中的因子
CxGCtGdttgdtttftxdxxf ))(()()()())(()()( 1令
dxxf )(
)(tx )())(( ttf
,1tx?,x
(4).分部积分法
（难积） （易积）
关键是 的选取,原则上要求用分部积分公式后的积分比原积分简单易求,常会出现还原的情况,通过移项得到或得到递推公式,通常应用分部积分的形式,
v d uuvudv
dvu,
,)(? dxxP e xk,s i n)(? xd xxP k,c o s)(? xd xxP k
,ln)(? xdxxP k,a r c s i n)(? xd xxP kx d xxP k a r c c o s)(
(5).几种特殊类型函数的积分的求法
a）,关键在于用待定系数法或拼凑法,把有理分式分成部分分式之和,通常首先考虑拼凑法,
注意,有理函数的原函数都是初等函数,
b),用万能代换（半角代换）
可化为有理函数的积分,但这不是最简单的方法,常利用三角恒等变形,换元法或分部积分法求,
dx有理函数）(
dx三角有理函数）(
c),将某个根式全作为新积分变量,化为有理函数的积分,计算结果,
几个常见的不能用初等函数表示的不定积分,
等,
本章重点是原函数与不定积分的概念,熟记基本积分公式,熟练掌握不定积分的第一、二类换元法和分部积分法,
dx某些无理函数）(
,sin? dxx x,cos? dxx x,? dxxe
x,2 dxe x
,ln1? dxx? dx
x
xa rc t a n
例题
1.下列等式中正确的是（ ）,
(A),(B)
(C),(D),
解 选 (D),
(A)错,
(B)错,
(C)错,
)())(( xfdxxfd dxxfdxxfdxd )(])([
)()( xfxdf Cxfdxxf )()(
.)())(( dxxfdxxfd
.)(])([ xfdxxfdxd
.)()( Cxfxdf
2.设 的一个原函数为,则 （ ）,
(A),(B),(C),(D),
解,选 (C).由原函数与导函数的关系,得则
(B)错,错认为
)(xf xln?)(xf
x
1 Cxxxln
2
1
x?
xe
,1)( l n)( xxxf,1)( 2xxf
.)1( l nln)( Cxxx d xxf
3.若,且,
则 （ ）,
(A),(B).
(C),(D).
解：选（ D）,
(B)错,
(C)错,
CxFdxxf )()( )0( abatx
dttf )(
CxF?)( CbatF )(
CbatFa )(1 CtF?)(
)()()())(( tfbatafabatFCbatFdtd
)()()(1))(1( tfbatfabatFaCbatFadtd
4.若 且,则 （ ）,
(A),(B),(C),(D)
解 选 (C).令,则,
而 由,
知,所以
(B)错,令,误认为,由得,于是,
所以,由,
得,所以
)0(1)( 2 xxxf 2)1(?f?)(xf
x2 2ln
2
1?x x2
x
1
tx?,)( ttf
,21)()( Cxdxxdxxfxf
.2)( xxf?0?c
2)1(?f
2xt? xtf
dx
dttfxf 2)()()( 2
,1)( 2 xxf xxtf 12)( txtf 212 1)( 2
Cxdxxdxxfxf ln212 1)()( 2)1(?f
2?C,2ln21)( xxf
5.设 的一个原函数为,则 （ ）,
(A),(B).
(C),(D),
解 选 (A).因为,所以,
)(xf dxxfx )(xsin
Cxxx s i nc o s
Cxxx s i nc o s
Cxxx c o ss i n
Cxxx c o ss i n
Cxdxxf s i n)( xxf c o s)(?
dxxfxxfxx d fdxxfx )()()()(
.s inc o s Cxxx
⒍ （ ）,
(A),(B).
(C),(D),
解 选 (C),
dxxfx )(
dxxfxfx )()( Cxfxfx )()(
Cxfxfx )()( Cxfxfx )()(
)()()()( xfxfxxfxddxxfx
.)()( Cxfxfx
7,的原函数是（ ）,
(A),(B).
(C),(D),
解 选 (B),
因为
)ln1( xx x?
Cxxx x ln1 1 1 Cxx?
Ccx?ln Cxx x?ln
2
1
).ln1()()( ln xxx xxxx e
例 1,
思路,,所以原式同理求
.c o ss i n s i n dxxx x
xxxx s i nc o s)c o s( s i n
dxxx xxxx c o ss i n c o ss i nc o ss i n21
dxxx xx )c o ss i n s i nc o s1(21
.|c o ss i n|ln(21 Cxxx
.c o ss i n c o s dxxx x
例 2,
思路,
(1).,原式
(2).,原式
dxxbxa xx 2222 c o ss i n c o ss i n
.c o ss i n)(2)c o ss i n( 222222 xxbaxbxa
22 ba?
xbxa xbxadba 2222
2222
22 c o ss i n
)c o ss i n(
)(2
1
Cxbxaba 222222 c o ss i n1
22 ba?,
||2
2s in
||
c o ss in C
a
xdx
a
xx
例 3,
方法 1 原式方法 2 原式
dxxx 3c o ss i n 1
dxxxdxdxxxdxxx xx c o ss inc o ss inc o ss in c o ss in 33 22
.|2c o t2c s c|ln21c o s2 12c s cc o sc o s 23 Cxxxx d xxxd
323232 )1(c o sc o s)c o s1( c o sc o ss i n s i n uuduuxxx xdxx x d x 令
Cuuuduuuuu 2232 21|1|ln21||ln)111(
.|t a n|lnc o s2 1|c o sc o s1|lnc o s2 1 2
2
2 CxxCx
x
x
方法 3 原式注意,
不同方法表面上看得到不同原函数,但它们一定差一个常数,
xdxxx d xx t a nt a n 1t a ns e ct a n1
2
4
Cxxxdxx |t a n|lnt a n21t a n)t a n1( t a n 2
例 4,型积分,
(1),至少有一个奇数
(2),均为偶数 (倍角公式降次数 )
xd xx nm c o ss i n
nm,
xdxxxxdxx d xx s i n)s i n1(s i ns i nc o ss i nc o ss i n 231231331
CxxCttdttttx 3103431034231 )( s i n10 3)( s i n4310 343)1(s i n令
nm,
dxxxx d xx 2 2c o s1)2( s i n41c o ss in 242
x d xxdxx 2c o s)2( s i n8116 4c o s1 2
.)2( s i n4814s i n641161 3 Cxxx
例 5,
( 常数 )
高中积化差公式再记忆一求解,
,c o ss i n? n xd xmx,s i ns i n? n xd xmx? n xd xmx c o sc o s
nm,
例 6,
方法 1 原式方法 2 原式
dxxx 3 23 1
)1(1]1)1[(21)1(121 23 2223 22 xdxxxdxx
)1()1(21)1()1(21 23
1
223
4
2 xdxxdx
Cxx 3
4
23
7
2 )1(
8
3)1(
14
3
3
4
2223 22 )1(
4
3
2
1)1(1
2
1 xdxxdxx
Cxxxx d xxxx 3
7
23
4
223
4
23
4
22 )1(
7
3
8
3)1(
8
3)1(2
8
3)1(
8
3
.)1(569)1(83 3
7
23
4
22 Cxxx
例 7,
方法 1 原式方法 2 原式方法 3 原式
12xx dx
.
1
a r c s i n
)
1
(1
1
1
1 2
2
2
C
x
x
x
d
x
x
dx
122
2
22
)1(
2
1
1 xx
xd
xx
x d x
1)1(1 1 222 xdx
.1a r c t a n 2 Cx
.1a r c c o st a ns e c t a ns e cs e c CxCtdttt tttx令例 8,
解 令,得原式注意,倒代换是一个常用的有效的代换,
常用来消去被积函数的分母中的因子
.
12 xxx
dx
ux?1
22
2
)
2
3()
2
1(1 u
du
uu
du
Cuuu 1)21(|ln 2
.|1211|ln
2
Cx xxx
.x
例 9,
思路,熟悉公式原式
.)( ln2 ln1 22 dxxx x
.ln1)ln( xxx
.2lna r c t a n21)ln(2 )ln( 2 Cxxdxxx xxd
例 10,
思路,
所以原式
.
)1(
ln
2
3
2
dx
x
xx
,
)1(
])1[(
2
3
2
2
1
2
x
xx
.)1(
)1(
2
1
2
2
3
2
xddx
x
x
1)1(
ln)1(ln
2
2
1
2
2
1
2
xx
dx
x
xxxd
.1a r c s in
)1(
ln
2
1
2
Cx
x
x
注意,熟悉公式
………
类似于下面的积分就比较容易求得
,1
1
2
2
xddx
x
x
,1
1
2
2
xddx
x
x
2
1
2
2
3
2
)1(
)1(
xd
x
x d x
,
1
)11l n (
2
2
dxx xx,
)1(
ln
2
3
2
dx
x
xx,
1
a r c s in)1(
2
dx
x
xx
例 11,
思路,熟悉公式方法 1 原式方法 2 原式注意,方法 2中二个不定积分,抵消,不应忘了常数,用类似的方法求
.)1( 2 dxxxe
x
),11()1( 1 2 xddxx ).1 1()1( 1 2 xddxx
dxxexxxexdxe xxx )1(1 11)11(
.111 CxeCexxedxexxe xxxxx
dxxedxxedxx eexe xxxxx 22 )1(1)1(
Cxedxxexedxxexdedxxe xxxxxx 11111 11
C,)s e c( t a n 2 dxexx x
例 12,
是有理函数积分,用待定系数法做较繁,由于有因式,可以作变换原式类似地,求 令
.)4( 22
4
dxx x
)4( 2?x,tan2 tx?
dtttdttttd ttt )c o s2( s e c2s e c )1( s e c2s e c2s e c16 t a n16 224 22244
Cttttdtttt )4 2s in2(2)2( ta n22 2c o s12)2( ta n2
Cx xxxCtttt 422a r c t a n3c o ss in3t a n2 2
,)1( 62
9?
dxx
x,sin tx?
例 13,
方法 1 原式对于,令,
得所以原式
.
2
dx
e
xe
x
x
.222222 dxeexexd xxx
dxe x 2 )2l n (,2 2txte x
dtttdxe x 22222
CeeCtt
x
x
2
2a r c t a n2222
2a r c t a n2
42
.
2
2a r c t a n242422 2 Ceeex xx
方法 2 令,则原式
ue x 2
duuuuuduu 2222 2 22)2ln (2)2ln (2
Cuuuu )2a r c t a n22(4)2ln (2 2
.2 2a r c t a n242422 Ceeex
x
xx
例 14.求分段函数的积分,
设 求解 去掉绝对值符号,分段计算,
当当当
|,|1
,1)( 2
x
xxf
.1||
,1||
x
x,)(? dxxf
,1||?x ;
3)1()( 1
3
2 Cxxdxxdxxf;2)1()( 2
2
Cxxdxxdxxf
.2)1()( 3
2
Cxxdxxdxxf
,1?x
,1x
依据在分段点处的连续性,求出各段内原函数中任意常数关系当当当当得所以;2112,1 33
2
CCxxx;323,1 113 CCxxx;212,1 222 CCxxx
.323,1 113 CCxxx
,61 13 CC,61 12 CC
.1,
6
1
2
1
,1,
6
1
2
1
,1,
3
1
1
2
1
2
1
3
xCxx
xCxx
xCxx
dxxf )(
例 15.设 是 的一个原函数,当时,
,且,又,求解,由,所以积分得即又,所以,从而,
所以
)(xF )(xf 0?x
0)(?xF 21 1)( )( xxF xf 1)0(?F ).(xf
)()( xfxF
21
1
)(
)(
xxF
xf
,1
1
)(
)(
2xxF
xF
,ln)1l n ()(ln 2 CxxxF
).1()( 2xxCxF
1)0(?F 1?C 21)( xxxF
.
1
1)()(
2x
xxFxf
例 16.设 由 确定,求解 令,得,
解得所以原式
)(xyy? xyxy 2)(,3 yx dx
tyx xyt?2
,12 t ty,12 3 t tx
,)1( )3( 22
22
dtt ttdx,1 )3(3 2
2
t
ttyx
.|1)(|ln21|1|ln211 222 CyxCtdtt t
习题一,选择题：
1.经过变量代换 （ ）,
(A),(B),
(C),(D),
2.下列等式正确的是（ ）,
(A),(B),
(C),(D).
dxxtx 21,t a n
tdtsec? tdt3sec
dttt21sec tdt3sec
)()( xFxdF )()( xdFxdF
)()( xFxFd )()( xdFxdFd
3.设,且,则 ( ),
(A),(B),
(C),(D).
4.如果 是 的一个原函数,则（ ）,
(A),(B),
(C),(D).
xxf 22 s i n)( co s 0)0(?f?)(xf
xx 2c o s21c o s?
2
2
1 xx?
xx 42 c o s21c o s?
2
2
1 xx?
)(xF )(xf
CxfdxxF )()(
CxFdxxf )()(
CxfdxxF )()(
CxFdxxf )()(
5.若,则 ( ).
(A),(B),
(C),(D).
6.设的一个原函数为 的一个原函数为,则 的一个原函数为（ ）,
(A),(B),
(C),(D).
CxFdxxf )()( dxefe xx )(
CeF x?)( CeF x )(
CeF x )( C
x
eF x )(
)(,c o s xgx
2x )]([ xgf
x2cos21
x2sin
2sin x? x2cos?
7.已知,则 （ ）,
(A),(B),
(C),(D).
8.设,则 （ ）,
(A),(B),
(C),(D).
)()( xfxFdxxf )2(
CxF?)2( CxF?)
2(
CxF?)2(21 CxF?)2(2
Cxxdxxf ln)( dxxxf )1( 2
)1l n ()1( 22 xx Cxx )1l n ()1(21 22
)1l n ()1(21 22 xx Cxx?ln
9,（ ）,
(A),(B),
(C),(D).
10.若 导数是,则 有原函数为
（ ）,
(A),(B),
(C),(D).
dxx ||
Cx?221
.0,
2
1
,0,
2
1
2
2
1
2
xCx
xCx
Cxx?|| Cxx?||
2
1
)(xf xsin )(xf
xsin1? xsin1?
xcos1? xcos1?
二,填空题,
1.设,且,则,
2.设 是 的一个原函数,则,
3.设,则,
4.,则,
2
2 )]([)(1
4 xf
dx
dxf
x
0)0(?f?)(xf
x
xsin dxxfx )()(xf
xexf)( dx
x
xf )(l n
Cxdxxf 2)1(dxxf )(
5.设,
则,
6.设 是 的一个原函数,
则,
7.设,
则,
Cxdxxf 12)( 2
dxxxf )12( 2
xsin )(xf
x xfxxfx )()(lim 0
Cedxefe xxx 21 1)(
dxefe xx )(2
8.,
9.设,则,
10.设,则,
dxxf )2(
xef x 1)(?)(xf
xxf c o s)(ln dx
xf
xfx
)(
)(
三,计算题,
1,2．
3,4.
5,6.
7,8.
.)ln1( dxxx x,
1
2s in
2si n dxe
x
x
.c o ss i n1 s i nc o s dxxx xx,s i n2s i n xxdx
.112 dxxx x,1
1?
dx
x
xx
.
2
dx
xx
dx,
136
5
2
dx
xx
x
9,10.
11,12.
13,14.
15,16.
.)1( ln 2 dxxx
.)1( 1 dxxex x x,4ln2ln? dxxx x
.
s in
2
c o s
3
4
dxx
xx
.a r c t a n3 xd xx
.a r c t a n1 2
2?
x d xx
x
.)1( 22
a r c t a n
dxxxe
x
.11ln1 1 2 dxxxx
17,18.
19,20.
21,22.
23.设,求
.)1( t a n 22 dxxe x,)1( t a n 22 dxxe x
.c o s1 s i n1 dxexx x,1 dxxx dx n
.|| dxe x dxx |)|,1m a x (
.1,
,10,1)( l n
xx
xxf 0)0(?f ).(xf
24.已知 的一个原函数为,
求
25.,求
26.设,且,求
27.设 在 上可导,,
,求
28.设 的原函数,且,
,求
xx ln)s i n1(?
.)( dxxfx
)(xf
Cedxxxf x)(,)(1? dxxf
2ln)1( 2
2
2
x
xxf xxf ln))((,)(? dxx?
),1[
23)1( 2 xx eef
0)1(?f)(xf
).(xf
0)(?xF
2)0(
F
xx eexFxf
1)()(
)(xf
).(xf
答案与提示
一,选择题,
1.(B) 2.(D) 3.(D) 4.(C) 5.(B)
6.(A) 7.(C) 8.(B) 9.(D) 10.(B)
二,填空题,
1,2.
3,4.
.11ln xx,
s i n2c o s
x
xxx?
.1 Cx?,2 Cx
5,6.
7,8.
9,10.
三,计算题
1.,提示,
2.,提示,
.1)12(241 22 Cx,sin x
.a r c t a n1 2 Ceee xx
x
,)2(21 Cxf?
.ln Cxx?,s inc o s Cxxx
Cxx? xxx ex ln?
Ce x )1l n ( 2s i n xx 2s i n)( s i n 2
3.,
提示,原式
4.,提示,令
5,
6,提示,
Cxx )c o sa r c t a n ( s i n2
dxxx xxd 2)c o s( s in1 )c o s( s in2
Cxx |2t a n3|ln32|2t a n|ln31 2tx?
2tan
.)1(32)12(31 2
3
2
3
Cxx
.a r c s i n211)12( 2 Cxxx
2
2
11
1
x
xx
x
xx
7.,提示,
8,
9.,提示,
10.,提示,
Cx )12a r c s i n (
2
2
)
2
1
(
4
1
)
2
1
(
x
xd
xx
dx
Cxxx 2 3a r c t a n4|136|ln21 2
Cxx 2)11( l n41 21 2)11( l n xxx
Cx xxx 1ln1ln
xddxx 1
1
)1(
1
2
11.,提示,
12.,提示,
令,
13.,提示,
14,
15,
Cxexe xx |1|ln||ln )1()( xexe xx
Cxx |ln2ln2|ln2lnln,
4ln
ln2ln
4ln
2ln
x
xxddx
xx
x?
.ln tx?
Cxxx 2c o t412c s c81 2,
)
2
( s in
1
8
1
s in
2
c o s
2
3
4
x
ddx
x
x
.21)11a r c t a n (21 2 Cxx
Cxxxx 22 )( a r c t a n21)1l n (21a r c t a n
16.,提示,令
17,
18,19,
20.,提示,
Cxxxe x )1 1(52 2
2
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本节的学习到此结束
