第四节 函数单调性的判别法
一,定理 设 在 上连续,在内可导,且
(1)若在 内 则 在上单调增加 ;
(2)若在 内 则 在上单调减少,
)(xfy? ],[ ba ),( ba
,0)( xf),( ba )(xfy? ],[ ba
),( ba,0)( xf )(xfy? ],[ ba
证明,任取,不妨设,在上满足 Lanrange中值定理的条件,则存在使得
(1)如果 则,所以即 在 上单调增加,
(2)如果 则 所以即 在 上单调减少,
],[,21 baxx? 21 xx? )(xf ],[ 21 xx
),,( 21 xx
,),)(()()( 211212 xxxxfxfxf
,0)( xf ),,( bax? 0)(f
,0)()( 12 xfxf )(xf ],[ ba
,0)( xf ),,( bax?,0)( xf
,0)()( 12 xfxf )(xf ],[ ba
注意 (1)如果将定理中的闭区间换成其他任何区间,结论也成立 ;
(2)如果 在其定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,用的点 (称为函数 的驻点 )和导数不存在的点划分定义区间为一些小区间,则 在这些小区间内符号恒定,从而 在这些小区间上分别单调增加 (或减少 ).
)(xf
0)( xf )(xf
)(xf?
)(xf
注意 (3)由 (1)和 (2)得求的单调区间的基本步骤是,
1.求 的定义域 ;(如果给定所讨论的范围,此步省 );
2.求 的点和 不存在的点 ;
3.将 2.中的点插入 1.中得一些小区间,
在这些小区间上分别讨论的 符号,从而确定 的单调区间,
)(xf
0)( xf )(xf?
)(xf?
)(xf
例 1 求下列函数的单调区间,
⑴
解,
令,得,在 上无不可导点,
).0(,82 xxxy
),41(282 22 xxy
0y 2?x 0?x
列表讨论,
所以 在 上,在 上
x )2,0( ),2(
y?
2
y
0?
xxy
82 ]2,0( ),2[,?
⑵
解,的定义域为令 得,无不可导点,
.31292)( 23 xxxxf
)(xf ).,(
),2)(1(6)23(612186)( 22 xxxxxxxf
2,1 21 xx0)( xf
列表讨论,
所以 在 上,在 上
)1,(
x
y?
y
0
1 )2,1(
2
0
),2(
),2[]1,()(xf? )2,1(,?
例 2 讨论 的单调性,
解,
所以 在 上
注意 4 一般地,如果 在某区间内有限或无限个点 (无限个点不构成一个区间 )处而其余各点处 恒为正 (或负 ),则在该区间上是单调增加 (或减少 )的,
xxxf c o s)(
,0s i n1)( xxf
),(xxxf c o s)(,?
)(xf
0)( xf )(xf?
)(xf
二,单调性的应用
1.证明不等式基本思路是,令 如果则从而同理可得 的证法,
令 且证
].,[),()( baxxgxf
,0)(),()()( aFxgxfxF
),,(,0)()()( baxxgxfxF,)(?xF
].,[),()(,0)()( baxxgxfaFxF
],[),()( baxxgxf
],,[),()()( baxxgxfxF,0)(?aF
).()(,0)()(,0)( xgxfaFxFxF
例 3 证明不等式
(1)当 时,
证明,令所以即;1211 xx0?x
.0101)0(,1211)( ftttf
).0(,0)1 11(2112 121)( ttttf
.0)0()( fxf
.1211,01211 xxxx
(2)当 时,
证明,令所以 得故即
20
x,2ta ns in xxx
].2,0[,0)0(,2ta ns in)( xfxxxxf
.0)0(,2s e cc o s)( 2 fxxf
xxxxf t ans ec2s i n)( 2
,0)1c o s2(s i nc o ss i n2s i n 33 xxxxx
,0)0()( fxf,0)0()( fxf
.02ta ns in xxx
.2ta ns in xxx
2.证明方程 在某区间上只有一根,
基本思路是,如果 在 上连续,在内可导,若 在 内单调有根,则只有一根,
例 4 证明方程 只有一根,
0)(?xf
)(xf ],[ ba
),( ba )(xf ),( ba
xx c os?
本节的学习到此结束
一,定理 设 在 上连续,在内可导,且
(1)若在 内 则 在上单调增加 ;
(2)若在 内 则 在上单调减少,
)(xfy? ],[ ba ),( ba
,0)( xf),( ba )(xfy? ],[ ba
),( ba,0)( xf )(xfy? ],[ ba
证明,任取,不妨设,在上满足 Lanrange中值定理的条件,则存在使得
(1)如果 则,所以即 在 上单调增加,
(2)如果 则 所以即 在 上单调减少,
],[,21 baxx? 21 xx? )(xf ],[ 21 xx
),,( 21 xx
,),)(()()( 211212 xxxxfxfxf
,0)( xf ),,( bax? 0)(f
,0)()( 12 xfxf )(xf ],[ ba
,0)( xf ),,( bax?,0)( xf
,0)()( 12 xfxf )(xf ],[ ba
注意 (1)如果将定理中的闭区间换成其他任何区间,结论也成立 ;
(2)如果 在其定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,用的点 (称为函数 的驻点 )和导数不存在的点划分定义区间为一些小区间,则 在这些小区间内符号恒定,从而 在这些小区间上分别单调增加 (或减少 ).
)(xf
0)( xf )(xf
)(xf?
)(xf
注意 (3)由 (1)和 (2)得求的单调区间的基本步骤是,
1.求 的定义域 ;(如果给定所讨论的范围,此步省 );
2.求 的点和 不存在的点 ;
3.将 2.中的点插入 1.中得一些小区间,
在这些小区间上分别讨论的 符号,从而确定 的单调区间,
)(xf
0)( xf )(xf?
)(xf?
)(xf
例 1 求下列函数的单调区间,
⑴
解,
令,得,在 上无不可导点,
).0(,82 xxxy
),41(282 22 xxy
0y 2?x 0?x
列表讨论,
所以 在 上,在 上
x )2,0( ),2(
y?
2
y
0?
xxy
82 ]2,0( ),2[,?
⑵
解,的定义域为令 得,无不可导点,
.31292)( 23 xxxxf
)(xf ).,(
),2)(1(6)23(612186)( 22 xxxxxxxf
2,1 21 xx0)( xf
列表讨论,
所以 在 上,在 上
)1,(
x
y?
y
0
1 )2,1(
2
0
),2(
),2[]1,()(xf? )2,1(,?
例 2 讨论 的单调性,
解,
所以 在 上
注意 4 一般地,如果 在某区间内有限或无限个点 (无限个点不构成一个区间 )处而其余各点处 恒为正 (或负 ),则在该区间上是单调增加 (或减少 )的,
xxxf c o s)(
,0s i n1)( xxf
),(xxxf c o s)(,?
)(xf
0)( xf )(xf?
)(xf
二,单调性的应用
1.证明不等式基本思路是,令 如果则从而同理可得 的证法,
令 且证
].,[),()( baxxgxf
,0)(),()()( aFxgxfxF
),,(,0)()()( baxxgxfxF,)(?xF
].,[),()(,0)()( baxxgxfaFxF
],[),()( baxxgxf
],,[),()()( baxxgxfxF,0)(?aF
).()(,0)()(,0)( xgxfaFxFxF
例 3 证明不等式
(1)当 时,
证明,令所以即;1211 xx0?x
.0101)0(,1211)( ftttf
).0(,0)1 11(2112 121)( ttttf
.0)0()( fxf
.1211,01211 xxxx
(2)当 时,
证明,令所以 得故即
20
x,2ta ns in xxx
].2,0[,0)0(,2ta ns in)( xfxxxxf
.0)0(,2s e cc o s)( 2 fxxf
xxxxf t ans ec2s i n)( 2
,0)1c o s2(s i nc o ss i n2s i n 33 xxxxx
,0)0()( fxf,0)0()( fxf
.02ta ns in xxx
.2ta ns in xxx
2.证明方程 在某区间上只有一根,
基本思路是,如果 在 上连续,在内可导,若 在 内单调有根,则只有一根,
例 4 证明方程 只有一根,
0)(?xf
)(xf ],[ ba
),( ba )(xf ),( ba
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