定积分 4
1．,
2．设 当 时连续,且,
则,
3．设其中 在点 处连续,且,若 在点 处连续,
则,
x t d ttdxd 1 c o s)1(
)(xf 0?x x dttf
xxf 1 )(
11)(
)(xf
k
x
dtttf
xF
x
2
0
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0
0
x
x 0?x)(xf
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k
4．已知,则,
5．,
6．,
7,则,
8．设 为可导函数,且已知则,
9．,则,
11
1 )(
xx xedttf )(xf
aa dxxfxfx )]()([
1 1 23 ]2)1l n (c o s[ dxxxxx
,2)(
4
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0
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,2)0(,0)0( ff)(xf
2
0
0
)(
lim
x
dttfx
x
33
0 )( xdttf
x )3(f
10．已知 则,
11．若,则,
12．设为 线性函数,且,
则,
13．设,则,
,2)(0 xdtexf t)(xf
0
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)( 2
0
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x
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x
x
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)(xf
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0 )( dxxf
计算与证明题
1,2．
3,4．
5,设,求
6．
0 53 c o sc o s dxxx?
3
3 c o s
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dxx
xx
11
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x
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0
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7．已知,且,求
8．设 存在,
求
9．设,求
10．设 在 的某邻域内连续,存在，
且,求
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0
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x
11,证明
12,计算
13,设 连续,,求
14,已知 连续,,求
15,设,求 （ 其中为连续函数 ）
.4c o ss in c o sc o ss in s in 2020?
dxxx xdxxx x
n
in in
nI
1
2)(lim
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0?
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x dttgtxxf 0 2 )()(21)( ).(xf )(xg
16．设 且 a为不等于 -1的常数，证明：
17．设 在 上连续,且,证明：
在 内有且仅有一个实根,
18．设连续函数 在 上单调增加又
,
求证 在 内非负,
a dxxfxxf 02 )()(
.)1(3)(
3
0?
aadxxfa
)(xf ]1,0[ 1)(?xf
1)(2 0 x dttfx )1,0(
xa dttfaxxG )(1)(
)(xf ],[ ba
).,( bax?
)(xG? ),( ba
19．证明 在区间内的最大值不超过 （ 为正整数 ).
20．证明不等式,其中在 上非负且单调递减,
21．设 在 上递减且非负,连续,则
x dtnttxf 0 )1l n ()1()( ),0(
.6n n
00 )()( dxxfdxxf )(xf
]1,0[,10
)(xf ]1,0[
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0
2
1
0
1
0
2
dxxf
dxxf
dxxxf
dxxxf
答案与提示
选择题
1.（ B） 2.（ C） 3.（ C） 4.（ C） 5.（ C）
6.(D） 7.(C） 8.（ B） 9.（ A） 10（ A）
填空题
1．
2．
x t d txx 1 c o sc o s)1(
2
1
12
)()()(
)(1 x
dttfxxf
x
xfdttf
x
x
x
3,4．
5,0 6,4
7,8 8,1
9,10．
11,12．
13．
2
1?k )1()( xexf x
3
2 )1ln ( 2x?
3
1
2
1
2
3)(xf
2e
计算与证明题
1,2,0 3,4,2 5.
6,7,3 8,2 9.0 10.
11,令
12,用定积分的定义
13,14,1 15.
5
4
3
1
3
1?e
2
1 32
tx 2?
2
1
)1(
11
0 2 dxxI
12
1?x dttg0 )(
16．注意 为常数,
17．设,⑴存在性 ;
⑵唯一性,
18．求出,再用积分中值定理证明
19．求出最大值,再考虑到证明
20．设,证明
a dxxf0 )(
1)(2)( 0 x dttfxxF
)(xG?
))1,0(()1ln ( tntnt
x
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21．即证设显然 只需证则
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t t tt dxxfdxxxfdxxxfdxxftg 0 0 0202 )()()()()(
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1．,
2．设 当 时连续,且,
则,
3．设其中 在点 处连续,且,若 在点 处连续,
则,
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4．已知,则,
5．,
6．,
7,则,
8．设 为可导函数,且已知则,
9．,则,
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10．已知 则,
11．若,则,
12．设为 线性函数,且,
则,
13．设,则,
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计算与证明题
1,2．
3,4．
5,设,求
6．
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7．已知,且,求
8．设 存在,
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9．设,求
10．设 在 的某邻域内连续,存在，
且,求
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)0(,5)2(,3)2(,1)0( ffff
.)2(10 dxxfx
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11,证明
12,计算
13,设 连续,,求
14,已知 连续,,求
15,设,求 （ 其中为连续函数 ）
.4c o ss in c o sc o ss in s in 2020?
dxxx xdxxx x
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1
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16．设 且 a为不等于 -1的常数，证明：
17．设 在 上连续,且,证明：
在 内有且仅有一个实根,
18．设连续函数 在 上单调增加又
,
求证 在 内非负,
a dxxfxxf 02 )()(
.)1(3)(
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)(xf ]1,0[ 1)(?xf
1)(2 0 x dttfx )1,0(
xa dttfaxxG )(1)(
)(xf ],[ ba
).,( bax?
)(xG? ),( ba
19．证明 在区间内的最大值不超过 （ 为正整数 ).
20．证明不等式,其中在 上非负且单调递减,
21．设 在 上递减且非负,连续,则
x dtnttxf 0 )1l n ()1()( ),0(
.6n n
00 )()( dxxfdxxf )(xf
]1,0[,10
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答案与提示
选择题
1.（ B） 2.（ C） 3.（ C） 4.（ C） 5.（ C）
6.(D） 7.(C） 8.（ B） 9.（ A） 10（ A）
填空题
1．
2．
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2
1
12
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x
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3,4．
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计算与证明题
1,2,0 3,4,2 5.
6,7,3 8,2 9.0 10.
11,令
12,用定积分的定义
13,14,1 15.
5
4
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1 32
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2
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16．注意 为常数,
17．设,⑴存在性 ;
⑵唯一性,
18．求出,再用积分中值定理证明
19．求出最大值,再考虑到证明
20．设,证明
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21．即证设显然 只需证则
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本节的学习到此结束
