第五节 函数的极值
一.极值的概念
定义 设在内有定义,.如果存在,,有
 (或)
则称为的一个极小值(或极大值).
函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为函数的极值点.
注意 (1)函数的极值是局部性的概念,而不是整体性的概念,即要区别函数的极值与最值.极大值不一定是最大值;极小值也不一定是最小值.
(2)函数的极值点是区间的内点(即在区间的内部),从而区间的端点必不是极值点.
二.函数取得极值的必要条件
定理 设在处可导,且在处取到极值,则必有.
证明 不妨设是的极小值.由导数的定义,有
.
当时,所以
,
故

同理可得

所以
.
注意 (1)使的点称为的驻点.
(2)由极值的必要条件知:函数的极值点必包含在驻点和不可导点内,即函数的可能极值点为:1.驻点;2.不可导点.但函数的驻点和不可导点不一定是函数的极值点.
下面介绍怎样判别函数的可能极值点为函数的极值点.
三.函数极值点的判别准则
定理(第一充分条件)设在内连续,在内可导,且是的驻点或不可导点.
如果时,;当时,,则在处取得极大值;
如果时,;当时,,则在处取得极小值;
如果当时,恒为正(或负),则在处无极值.
注意 (1) 第一充分条件实质上是用函数的单调性判断函数的极值.
(2)由函数极值的第一充分条件,可得判断函数极值的基本步骤:
1.求的定义域(如果给定的范围,此步省略);
2.求
3.求的驻点和不可导点;
4.将3.中的点插入1.,分成一些小区间,列表讨论在每个小区间上的符号,从而确定函数的极值点及极值(是极大值还是极小值).
例1 求的极值.
解 (1)函数的定义域为:
(2) 
(3)令得驻点:;无不可导点.
列表讨论:









-




极大值


极小值


由表可知,在处有极大值;在处有极小值.
例2 求的极值.
解 函数的定义域为
,无驻点,不可导点为.
列表讨论:





+
不存在
-


极大值


有表可知,在处有极大值.
下面用二阶导数判断在驻点处是否有极大值或极小值.
定理(第二充分条件)设在处有二阶导数,且为驻点,则当时,在处有极大值;
当时,在处有极小值;
当时,不能判断.改用第一充分条件.
注意 (1)第一充分条件与第二充分条件的应用范围:
第一处分条件可用来判断1.驻点,2.不可导点,是否为极值点;
第二充分条件只能用来判断驻点是否为极大(小)值点.
(2)如果只判断某一驻点为极值点,一般用第二充分条件.
例3 如在例1中:是驻点,而.
因为所以为极大值点,在处有极大值.
因为所以在处有极小值.