第一节 不定积分的概念与性质
一．原函数与不定积分的概念
1.原函数的概念
引例 设,求.
解 因为,所以.
此时称为的一个原函数.
定义 如果在区间上,可导函数的导函数为,即,有
 (或)
则称为(或在区间上的一个原函数.
如是的原函数;是的原函数.
什么样的函数具有原函数呢?有
定理(原函数存在定理) 连续函数必有原函数.即
如果函数在区间上连续,则在区间上存在可导函数,使得对,有

即为在区间上的一个原函数.
其证明见.
注意 (1)由原函数的定义可知:如果为在区间上的原函数,则也是的原函数,即若有原函数,则有无限多个原函数.
(2)设和都是在区间上的原函数,则=.事实上

所以,即=.
2.不定积分的概念
定义 在区间上,的原函数的全体,称为(或在区间上的不定积分,记作
.
其中:‘’——积分符号; ——被积函数;—被积表达式;——积分变量.
显然,如果是的一个原函数,则
.
因此,求的不定积分归结于求的一个原函数.
如是的一个原函数,所以
.
又如是的一个原函数,则
.
例1 求.
解 当时,,所以.
当时,,所以.
综上,有
.
例2 设求.
解 故.因为

所以是的一个原函数,故

即
=.
例3 设曲线过点,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.
解 设曲线方程为,则
.
所以.又,所以,从而.故所求曲线方程为.
3.不定积分与微分的关系
(1) 或;
(2) 或.
即先积后微,形式不变;先微后积,添个常数.
二.基本积分表
1. (是常数);
2. ();
3,;
4,;
5.;
6.;
7.;
8.;
9.;
10.;
11.;
12.;
13.;
14.;
15..
例4 .
三.不定积分的性质
性质1 .
性质2  (是常数).
例5 求.
解 原式
.
例6 .
例7 
.
例8 
.
例9 .
例10 .
例11 .
例12 
.